Livre:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu

Titre	Œuvres complètes de Laplace
Volume	7
Auteur	Pierre-Simon Laplace
Maison d’édition	Gauthier-Villars
Lieu d’édition	Paris
Année d’édition	1878
Bibliothèque	Internet Archive
Fac-similés	djvu
Avancement	À valider
Série	1  •  2  •  3  •  4  •  5  •  6  •  7  •  8  •  9  •  10  •  11  •  12  •  13  •  14

Pages

TOME SEPTIÈME. — THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS

Titre - Titre - Titre - Avert.2 - Avert.3 -

Introduction

v vi vii viii ix x xi xii xiii xiv xv xvi xvii xviii xix xx xxi xxii xxiii xxiv xxv xxvi xxvii xxviii xxix xxx xxxi xxxii xxxiii xxxiv xxxv xxxvi xxxvii xxxviii xxxix xl xli xlii xliii xliv xlv xlvi xlvii xlviii xlix l li lii liii liv lv lvi lvii lviii lix lx lxi lxii lxiii lxiv lxv lxvi lxvii lxviii lxix lxx lxxi lxxii lxxiii lxxiv lxxv lxxvi lxxvii lxxviii lxxix lxxx lxxxi lxxxii lxxxiii lxxxiv lxxxv lxxxvi lxxxvii lxxxviii lxxxix xc xci xcii xciii xciv xcv xcvi xcvii xcviii xcix c ci cii ciii civ cv cvi cvii cviii cix cx cxi cxii cxiii cxiv cxv cxvi cxvii cxviii cxix cxx cxxi cxxii cxxiii cxxiv cxxv cxxvi cxxvii cxxviii cxxix cxxx cxxxi cxxxii cxxxiii cxxxiv cxxxv cxxxvi cxxxvii cxxxviii cxxxix cxl cxli cxlii cxliii cxliv cxlv cxlvi cxlvii cxlviii cxlix cl cli clii cliii -

Table des matières

clv clvi clvii clviii clix clx clxi clxii clxiii clxiv clxv clxvi clxvii clxviii clxix clxx clxxi clxxii clxxiii -

Livre I. Calcul des fonctions génératrices

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

Livre II. Théorie générale des probabilités

Titre - Titre - 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645

TABLE DES MATIÈRES

CONTENUES DANS LE SEPTIÈME VOLUME.

____________

Avertissement de la seconde édition 

 I

Avertissement de la troisième édition 

 III

____________

INTRODUCTION.

____________

De la probabilité 

 VI

Principes généraux du Calcul des Probabilités 

 XI

De l’espérance 

 XVIII

Des méthodes analytiques du Calcul des Probabilités 

 XXI

Applications du Calcul des Probabilités 

 XLIII

Des jeux 

 XLIII

Des inégalités inconnues qui peuvent exister entre les chances que l’on suppose égales 

 XLIV

Des lois de la probabilité qui résultent de la multiplication indéfinie des événements 

 XLVII

Application du Calcul des Probabilités à la Philosophie naturelle 

 LVI

Application du Calcul des Probabilités aux sciences morales 

 LXXVIII

De la probabilité des témoignages 

 LXXIX

Des choix et des décisions des assemblées 

 XC

De la probabilité des jugements des tribunaux 

 XCIV

Des Tables de mortalité, et des durées moyennes de la vie, des mariages et des associations quelconques 

 XCIX

Des bénéfices des établissements qui dépendent de la probabilité des événements 

 CVI

Des illusions dans l’estimation des probabilités 

 CXII

Des divers moyens d’approcher de la certitude 

 CXXXVIII

Notice historique sur le Calcul des Probabilités 

 CXLV

________

LIVRE I.

CALCUL DES FONCTIONS GÉNÉRATRICES.

_________

PREMIÈRE PARTIE.

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES ÉLÉMENTS DES GRANDEURS.

Pages

La notation des exposants, imaginée par Descartes, a conduit Wallis et Newton à la considération des exposants fractionnaires, positifs et négatifs, et à l’interpolation des séries. Leibnitz a rendu ces exposants variables, ce qui a donné naissance au calcul exponentiel et a complété le système des éléments des fonctions finies. Ces fonctions sont formées de quantités exponentielles, algébriques et logarithmiques ; quantités essentiellement distinctes les unes des autres. Les intégrales ne sont pas souvent réductibles à des fonctions finies. Leibnitz ayant adapté à sa caractéristique différentielle des exposants, pour exprimer des différentiations répétées, il a été conduit à l’analogie des puissances et des différences, analogie que Lagrange a suivie par voie d’induction, dans tous ses développements. La théorie des fonctions génératrices étend cette analogie à des caractéristiques quelconques et la montre avec évidence. Toute la théorie des suites et l’intégration des équations aux différences découle avec une extrême facilité de cette théorie. N^o 1 

 1

Chapitre I. — Des fonctions génératrices à une variable 

 7

$u$ étant une fonction quelconque d’une variable $t$ et $y_{x}$ étant le coefficient de $t^{x}$ dans le développement de cette fonction, $u$ est fonction génératrice de $y_{x}$. Si l’on multiplie $u$ par une fonction quelconque $s$ de ${\frac {1}{t}}$ on aura une nouvelle fonction génératrice qui sera celle d’une fonction de $y_{x}$, $y_{x+1}$, etc. En désignant par $\nabla y_{x}$ cette dernière fonction, $us^{i}$ sera la fonction génératrice de $\nabla ^{i}y_{x}$ en sorte que l’exposant de $s$, dans la fonction génératrice, devient celui de la caractéristique $\nabla$ dans la fonction engendrée. N^o 2 

 7

De l’interpolation des suites à une variable, et de l’intégration des équations différentielles linéaires 

 11

L’interpolation se réduit à déterminer le coefficient $y_{x+i}$ de $t^{x}$ dans le développement de ${\frac {u}{t^{i}}}$. On peut donner à ${\frac {1}{t}}$ une infinité de formes différentes : en l’élevant à la puissance $i$ sous ces formes et repassant ensuite des fonctions génératrices aux coefficients, on a, sous une infinité de formes correspondantes, l’expression de $y_{x+i}$. Application de cette méthode aux suites dont les différences successives des termes vont en décroissant. N^o 3 

 11

Formules pour interpoler entre un nombre impair ou pair des quantités équidistantes. N^o 4 

 13

Formule générale d’interpolation des séries dont la dernière raison des termes est celle d’une suite dont le terme général est donné par une équation linéaire aux différences, à coefficients constants. N^o 5 

 18

La formule s’arrête lorsque la raison des termes est celle d’une suite semblable, et alors elle donne l’intégrale des équations linéaires aux différences finies, dont les coefficients sont constants. Intégration générale de ces équations, dans le cas même où elles ont un dernier terme fonction de l’indice. N^o 6 

 25

Formule d’interpolation des mêmes suites, ordonnée par rapport aux différences successives de la variable principale. N^o 7 

 29

Passage de cette formule, du fini à l’infiniment petit. Interpolation des suites dont la dernière raison des termes est celle d’une équation aux différences infiniment petites linéaires, à coefficients constants. Intégration de ce genre d’équations, lors même qu’elles ont un dernier terme. N^o 8 

 32

De la transformation des suites. N^o 9 

 35

Théorèmes sur le développement des fonctions et de leurs différences en séries 

 37

On déduit du calcul des fonctions génératrices les formules

$'\Delta ^{n}y_{x}=\left[\left(1+\Delta y_{x}\right)^{i}-1\right]^{n},\qquad '\Sigma ^{n}y_{x}=\left[\left(1+\Delta y_{x}\right)^{i}-1\right]^{-n},$

$\Delta$ et $\Sigma$ se rapportant au cas où $x$ varie de l’unité et $'\Delta$ et $'\Sigma$ se rapportant au cas où $x$ varie de $i.$ On tire de ces formules les suivantes :

$'\Delta ^{n}y_{x}=\left(c^{\textstyle \alpha {\cfrac {dy_{x}}{dx}}}-1\right)^{n},\qquad '\Sigma ^{n}y_{x}=\left(c^{\textstyle \alpha {\cfrac {dy_{x}}{dx}}}-1\right)^{-n},$

dans lesquelles $c$ désigne le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, et $'\Delta$ et $'\Sigma$ se rapportent à la variation $\alpha$ de $x.$ On transforme l’expression de $'\Delta ^{n}y_{x}$ dans celle-ci

$\left(c^{{\cfrac {\alpha }{2}}{\cfrac {dy_{x+{\frac {n\alpha }{2}}}}{dx}}}-c^{-{\cfrac {\alpha }{2}}{\cfrac {dy_{x+{\frac {n\alpha }{2}}}}{dx}}}\right)^{n}.$

On parvient à ces formules

${\begin{aligned}{\frac {d^{n}y_{x}}{dx^{n}}}=&\left[\log(1+\Delta y_{x})\right]^{n},\\\int ^{n}y_{x}dx^{n}=&\left[\log(1+\Delta y_{x})\right]^{n}.\end{aligned}}$

Analogie entre les puissances positives et les différences et entre les puissances négatives et les intégrales, fondée sur ce que les exposants des puissances, dans les fonctions génératrices, se transportent aux caractéristiques correspondantes de la variable $y_{x}$. Généralisation des résultats précédents. N^o 10 

 37

Théorèmes analogues aux précédents sur les produits de plusieurs fonctions d’une même variable et spécialement sur le produit $p^{x}y_{x}.$ N^o 11 

 44

Chapitre II. — Des fonctions génératrices à deux variables 

 49

$u$ étant une fonction de deux variables $t$ et $t'$, et $y_{x,x'}$ étant le coefficient de $t^{x}t'^{x'}$ dans le développement de cette fonction, $u$ est fonction génératrice de $y_{x,x'}$. Si l’on multiplie $u$ par une fonction $s$ de ${\frac {1}{t}}$ et ${\frac {1}{t'}}$, le coefficient de $t^{x}t'^{x'}$ dans le développement de ce produit sera une fonction de $y_{x,x'}$, $y_{x+1,x'}$, $y_{x,x'+1}$, etc. ; en la désignant par $\nabla y_{x,x'}$, $us^{i}$sera la fonction génératrice de $\nabla ^{i}y_{x,x'}$. N^o 12 

 49

De l’interpolation des suites à deux variables et de l’intégration des équations linéaires aux différences partielles   

 51

Formule générale de l’interpolation des suites dont la dernière raison des termes est celle d’une série dont le terme général est donné par une équation linéaire aux différences partielles, à coefficients constants. N^o 13  

 51

La formule s’arrête lorsque la raison des termes est celle d’une série semblable, et alors elle donne l’intégrale des équations linéaires aux différences finies partielles, dont les coefficients sont constants. Cette intégrale suppose que l’on connaît ou que l’on peut déduire des conditions du problème $n$ valeurs arbitraires de $y_{x,x'},$ en donnant, par exemple, à $x$ les $n$ valeurs $0,1,2,\ldots ,n-1,\ x'$ étant d’ailleurs quelconque. Expression très simple de $y_{x,x'},$ lorsque ces fonctions arbitraires en $x'$ sont données par des équations linéaires aux différences, à coefficients constants. N^o 14   

 55

Expression générale de $y_{x,x'}$ sous la forme d’intégrale définie ; remarque importante sur le nombre des fonctions arbitraires que renferme l’intégrale des équations à différences partielles. N^o 15   

 57

Examen de quelques cas qui échappent à la formule générale d’intégration donnée dans ce qui précède ; dans ce cas, les caractéristiques des différences finies que renferment les intégrales ont pour exposants les indices variables des équations aux différences partielles. N^o 16  

 61

Intégration de l’équation

$0=\Delta ^{n}y_{x,x'}+{\frac {a}{\alpha }}\Delta ^{n-1}{'}\Delta y_{x,x'}+{\frac {b}{\alpha ^{2}}}\Delta ^{n-2}{'}\Delta ^{2}y_{x,x'}+\ldots ,$

$\Delta$ se rapportant à la variabilité de $x$ dont l’unité est la différence, et $'\Delta$ se rapportant à la variabilité de $x'$ dont $\alpha$ est la différence. On en déduit l’intégrale de l’équation aux différences partielles infiniment petites et finies, que l’on obtient en changeant, dans la précédente, $\alpha$ en $dx',$ et la caractéristique $'\Delta$ en $d.$ N^o 17  

 64

Théorèmes sur le développement en séries des fonctions de plusieurs variables   

 67

Ces théorèmes sont analogues à ceux qui ont été donnés précédemment sur les fonctions à une seule variable, et l’on y retrouve l’analogie observée entre les puissances positives et les différences, et entre les puissances négatives et les intégrales. N^o 18   

 67

Considérations sur les passages du fini à l’infiniment petit   

 70

La considération de ces passages est très propre à éclaircir les points les plus délicats du Calcul infinitésimal. Elle montre avec évidence que les quantités négligées dans ce Calcul n’ôtent rien à sa rigueur. En l’appliquant au problème des cordes vibrantes, elle prouve la possibilité d’introduire des fonctions arbitraires discontinues dans les intégrales des équations aux différences partielles finies et infiniment petites, et elle donne les conditions de cette discontinuité. N^o 19  

 70

Considérations générales sur les jonctions génératrices   

 80

Trouver la fonction génératrice d’une quantité donnée par une équation linéaire aux différences finies, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles et entières de l’indice. N^o 20  

 80

Expressions des intégrales de ces équations en intégrales définies. Les fonctions sous le signe intégral $\int$ sont de la même nature que les fonctions génératrices des quantités données par ces équations. Ainsi tous les théorèmes déduits précédemment de l’analogie des puissances et des différences s’appliquent à ces intégrales. Leur principal avantage est de fournir une approximation aussi commode que convergente de ces quantités, lorsque leur indice est un très grand nombre. Cette méthode d’approximation acquiert une grande extension par les passages du positif au négatif et du réel à l’imaginaire, passages dont j’ai donné les premières traces dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1782. Il paraît, par les Ouvrages posthumes d’Euler, que, vers le même temps, ce grand géomètre s’occupait du même objet. N^o 21   

 83

---

SECONDE PARTIE.

théorie des approximations des formules qui sont fonctions
de très grands nombres.

Chapitre I. — de l’intégration par approximation des différentielles qui renferment des facteurs élevés a de grandes puissances   

 89

Expression, en série convergente, de leur intégrale prise entre deux limites données : la série cesse d’être convergente près du maximum de la fonction sous le signe intégral. N^o 22   

 89

Expression, en série convergente, de l’intégrale dans ce dernier cas. N^o 23  

 92

Ce que devient cette série lorsque l’intégrale est prise entre deux limites qui rendent nulle la fonction sous le signe intégral. Sa valeur dépend alors d’intégrales de la forme $\int t^{r}dtc^{-t^{n}}$ et prises depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini. On établit ce théorème

$n^{2}\int t^{r-2}dtc^{-t^{n}}\int t^{n-r}dtc^{-t^{n}}={\frac {\pi }{\sin \left({\frac {r-1}{n}}\right)\pi }},$

$\pi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité. On en déduit ce résultat remarquable

$\int dtc^{-t^{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.$

N^o 24  

 94

Ce dernier résultat donne, par le passage du réel à l’imaginaire,

$\int dx\cos rxc^{-a^{2}x^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}c^{-{\frac {r^{2}}{4a^{2}}}},$

l’intégrale étant prise depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini ; méthode directe qui conduit à cette équation et de laquelle on tire la valeur de l’intégrale lorsque la quantité sous le signe $\int$ est multipliée par $x^{2n}\,:$ valeur de l’intégrale $\int x^{2n\pm 1}dx\sin rxc^{-a^{2}x^{2}}.$

N^o 25   

 96

On parvient aux formules

$\int {\frac {dx\cos rx}{1+x^{2}}}=\int {\frac {xdx\sin rx}{1+x^{2}}}=\pi c^{-r},$

les intégrales étant prises depuis $x=-\infty$ jusqu’à $x=\infty \,;$ et l’on en déduit les intégrales $\int \mathrm {\frac {M}{N}} dx{\begin{aligned}\cos \\sin\end{aligned}}rx,$ prises dans les mêmes limites, $\mathrm {N}$ étant une fonction rationnelle et entière de $x,$ d’un degré supérieur à $\mathrm {M} ,$ et n’ayant pas de facteur réel du premier degré.

N^o 26  

 99

Expression de l’intégrale $\int dtc^{-t^{2}}$ prise entre des limites données, soit en séries, soit en fraction continue. N° 27  

 102

Approximation des double, triple, etc. intégrales des différentielles multipliées par des facteurs élevés à de hautes puissances. Formules en séries convergentes pour intégrer, dans des limites données, la double intégrale $\iint ydxdx',\ y$ étant une fonction de $x$ et de $x'.$ Examen du cas où l’intégrale est prise très près du maximum de $y.$ Expression de l’intégrale en séries convergentes. N^o 28  

 105

Chapitre II. — de l’intégration par approximation des équations linéaires aux différences finies et infiniment petites  

 111

Intégration de l’équation aux différences finies

$\mathrm {S} =\mathrm {A} y_{s}+\mathrm {B} \Delta y_{s}+\mathrm {C} \Delta ^{2}y_{s}+\ldots ,$

$\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ étant des fonctions rationnelles et entières de $s.$ Si la variable $y_{s}$ est exprimée par l’intégrale définie $\int x^{s}\varphi dx$ ou par celle-ci $\int c^{-sx}\varphi dx,\ \varphi$ étant fonction de $x,$ on a, par les formules du Chapitre précédent, la valeur de $y_{s}$ en séries très convergentes, lorsque l’indice $s$ est un grand nombre. Pour déterminer $\varphi ,$ on substitue pour $y_{s}$ son expression en intégrale définie, dans l’équation aux différences en $y_{s},$ qui se partage en deux autres, dont l’une est une équation différentielle en $\varphi ,$ qui sert à déterminer cette inconnue ; l’autre équation donne les limites de l’intégrale définie. N^o 29  

 111

Intégration d’un nombre quelconque d’équations linéaires à un seul indice et ayant un dernier terme, les coefficients de ces équations étant des fonctions rationnelles et entières de cet indice. Cette méthode peut être étendue aux équations linéaires à différences ou infiniment petites, ou en parties finies et en parties infiniment petites. N^o 30  

 117

La principale difficulté de cette analyse consiste à intégrer l’équation différentielle en $\varphi ,$ qui n’est intégrale généralement que dans le cas où l’indice $s$ n’est qu’à la première puissance dans l’équation aux différences en $y_{s},$ qui alors est de la forme $0=\mathrm {V} +s\mathrm {T,\ V}$ et $\mathrm {T}$ étant des fonctions linéaires de $y_{s}$ et de ses différences, soit finies, soit infiniment petites. Intégrale de cette dernière équation, par une série très convergente, lorsque s est un grand nombre. Remarque importante sur l’étendue de cette série, qui est indépendante des limites de l’intégrale définie par laquelle $y_{s}$ est exprimé, et qui subsiste dans le cas même où l’équation aux limites n’a que des racines imaginaires. Lorsque, dans l’équation en $y_{s},\ s$ surpasse le premier degré, on peut quelquefois la décomposer en plusieurs équations qui ne renferment que la première puissance de $s.$ On peut encore, dans plusieurs cas, intégrer, par une approximation très convergente, l’équation différentielle en $\varphi .$ N^o 31  

 121

Intégration de l’équation

$0=\mathrm {V} +s\mathrm {T} +s'\mathrm {R} ,$

$\mathrm {V,T,R}$ étant des fonctions quelconques linéaires de $y_{s,s'}$ et de ses différences ordinaires et partielles, finies et infiniment petites. N^o 32 

 125

Chapitre III. — application des méthodes précédentes à l’approximation de diverses fonctions de très grands nombres 

 128

De l’approximation des produits composes d’un grand nombre de facteurs et des termes des polynômes élevés à de grandes puissances 

 128

L’intégrale de l’équation $0=(s+1)y_{s}-y_{s-1},$ approchée par les méthodes du Chapitre précédent et comparée à son intégrale finie, donne, par une série très convergente, le produit $(\mu +1)(\mu +2)\ldots s.$ En faisant $s$ négatif et passant du positif au négatif et du réel à l’imaginaire, on parvient à cette équation remarquable

${\frac {2\pi (-1)^{-{\frac {1}{2}}-\mu }}{\int x^{\mu -1}dxc^{-x}}}=\int {\frac {dxc^{-x}}{x^{\mu }}},$

la première intégrale étant prise depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini, et la dernière intégrale étant prise entre les limites imaginaires de $x$ qui rendent nulle la fonction ${\frac {c^{-x}}{x^{\mu }}},\,;$ ce qui donne un moyen facile d’avoir l’intégrale $\int {\frac {dx{\begin{aligned}\cos \\\sin \end{aligned}}x}{x^{\mu }}},$ prise depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini. Cette équation donne encore la valeur des intégrales

$\int {\frac {d\varpi \cos \varpi }{1+\varpi ^{2}}},\qquad \int {\frac {\varpi d\varpi \sin \varpi }{1+\varpi ^{2}}},$

prises depuis $\varpi$ nul jusqu’à $\varpi$ infini. On trouve ${\frac {\pi }{2c}}$ pour ces intégrales ; leur accord avec les résultats du n^o 26 prouve la justesse de ces passages du positif au négatif et du réel à l’imaginaire : ces divers résultats ont été donnés dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année 1782. N^o 33 

 128

Intégrale approchée de l’équation $0=(a'+b's)y_{s+1}-(a+bs)y_{s},$ d’où l’on tire, par une série simple et très convergente, le terme moyen ou indépendant de $a$ du binôme $\left(a+{\frac {1}{a}}\right)^{2s}.$
N^o 34 

 137

Méthode générale pour avoir, par une série convergente, le terme moyen ou indépendant de $a,$ dans le développement du polynôme

$a^{-n}+a^{-n+1}+a^{-n+2}+\ldots a^{n-1}+a^{n}$

élevé à une très haute puissance. N^o 35 

 140

Expressions, en série convergente, du coefficient de $as^{\pm l}$ dans le développement de cette puissance, et de la somme de ses coefficients, depuis celui de $a^{-l}$ jusqu’à celui de $a^{l}.$ N^o 36 

 149

Intégration par approximation de l’équation aux différences $p^{s}=sy_{s}+(s-i)y_{s+1}.$ On en déduit l’expression de la somme des termes de la puissance très élevée d’un binôme, en arrêtant son développement à un terme quelconque fort éloigné du premier. N^o 37 

 151

De L’approximation des différences infiniment petites et finies très élevées des jonctions   

 154

Approximation des différences infiniment petites très élevées des puissances d’un polynôme. Expression très approchée de la différentielle très élevée d’un angle, prise par rapport à son sinus. N^o 38  

 154

Expressions en intégrales définies des différences finies et infiniment petites de $y_{s},$ lorsqu’on est parvenu à lui donner l’une ou l’autre des formes $\int x^{s}\varphi dx,\ \int c^{-sx}\varphi dx$ N^o 39  

 159

Approximation en séries très convergentes de $\Delta ^{n}{\frac {1}{s^{i}}},\ n$ étant un grand nombre. On en déduit, au moyen des passages du positif au négatif et du réel à l’imaginaire, l’approximation de $\Delta ^{n}s^{i}.$ La convergence de la série exige que $i$ surpasse $n$ et que la différence $i-n$ ne soit pas fort petite par rapport à $s+{\frac {n}{2}}.$ Expression en série de $\Delta ^{n}s^{i},$ dans ce dernier cas. N^o 40  

 160

Expression de la différence $\Delta ^{n}s^{i}$ lorsque $i$ est plus petit que $n.$ N^o 41  

 165

Expression de la somme des termes de $\Delta ^{n}s^{i},$ en arrêtant son développement au terme dans lequel la quantité élevée à la puissance $i$ commence à devenir négative. Approximation, en série très convergente, de la fonction

$\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n\pm l}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n\pm l}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\left(n+r{\sqrt {n}}-4\right)^{n\pm l}-\ldots ,$

dans laquelle on rejette les termes où la quantité élevée à la puissance $n\pm l$ est négative, $l$ étant un nombre entier peu considérable par rapport à $n.$ N^o 42  

 169

Extension des méthodes précédentes aux différences finies très élevées de la forme $\Delta ^{n}(s+p)^{i}(s+p')^{i'}(s+p'')^{i''}\ldots$ N^o 43  

 174

Remarque générale sur la convergence des séries. N^o 44  

 177

---

LIVRE II.

THÉORIE GÉNÉRALE DES PROBABILITÉS.

---

Chapitre I. — Principes généraux de cette théorie  

 181

Définition de la probabilité. Sa mesure est le rapport du nombre des cas favorables à celui de tous les cas possibles. 

La probabilité d’un événement composé de deux événements simples est le produit de la probabilité d’un de ces événements, par la probabilité que, cet événement étant arrivé, l’autre événement aura lieu. 

La probabilité d’un événement futur, tirée d’un événement observé, est le quotient de la division de la probabilité de l’événement composé de ces deux événements et déterminée a priori par la probabilité de l’événement observé, déterminée pareillement a priori. 

Si un événement observé peut résulter de $n$ causes différentes, leurs probabilités sont respectivement, comme les probabilités de l’événement, tirées de leur existence, et la probabilité de chacune d’elles est une fraction dont le numérateur est la probabilité de l’événement dans l’hypothèse de l’existence de la cause, et dont le dénominateur est la somme des probabilités semblables, relatives à toutes les causes. Si ces diverses causes considérées a priori sont inégalement probables, il faut, au lieu de la probabilité de l’événement, résultante de chaque cause, employer le produit de cette probabilité par celle de la cause elle-même. 

 

La probabilité d’un événement futur est la somme des produits de la probabilité de chaque cause, tirée de l’événement observé, par la probabilité que cette cause existant, l’événement futur aura lieu. 

 

De l’influence que doit avoir sur les résultats du Calcul des Probabilités la différence inconnue qui peut exister entre des événements simples que l’on suppose également possibles. Cette différence augmente la probabilité des événements composés de la répétition d’un même événement. N^o 1  

 181

Des espérances mathématique et morale. La première est le produit du bien espéré par la probabilité de l’obtenir ; la seconde dépend de la valeur relative du bien espéré. La règle la plus naturelle et la plus simple pour apprécier cette valeur consiste à supposer la valeur relative d’une somme infiniment petite en raison directe de sa valeur absolue et en raison inverse du bien total de la personne intéressée. N^o 2  

 189

Chapitre II. — De la probabilité des événements composés d’événements simples dont les possibilités respectives sont données.  

 191

Expression du nombre de combinaisons de $n$ lettres prises $r$ à $r$ lorsqu’on a égard ou non à leur situation respective. Application aux loteries. N^o 3  

 191

Une loterie étant composée de $n$ numéros dont $r$ sortent à chaque tirage, on demande la probabilité qu’après $i$ tirages tous les numéros seront sortis. Solution générale du problème. Expression très simple et très approchée de la probabilité lorsque $n$ et $i$ sont de grands nombres. Application au cas où $n=10000$ et $r=1.$ Il y a, dans ce cas, un peu moins d’un contre un à parier que tous les numéros sortiront dans $95767$ tirages et un peu plus d’un contre un à parier qu’ils sortiront dans $95768$ tirages. Dans le cas de la loterie de France, où $n=90$ et $r=5,$ il y a un peu moins d’un contre un à parier que tous les numéros sortiront dans $85$ tirages, et un peu plus d’un contre un à parier qu’ils sortiront dans $86$ tirages. N^o 4  

 194

Une urne étant supposée renfermer le nombre x de boules, on en tire une partie ou la totalité, et l’on demande la probabilité que le nombre de boules extraites sera pair. Solution du problème. Il y a de l’avantage à parier pour un nombre impair. N^o 5  

 203

Expression de la probabilité d’amener $x$ boules blanches, $x'$ boules noires, $x''$ boules rouges, etc., en tirant une boule de chacune des urnes dont le nombre est

$x+x'+x''+\ldots ,$

et qui renferment chacune $p$ boules blanches, $q$ boules noires, $r$ boules rouges, etc.

N^o 6  

 205

Déterminer la probabilité de tirer ainsi des urnes précédentes x boules blanches,  

 

avant d’amener soit $x'$ boules noires, soit $x''$ boules rouges, soit, etc. Solution du problème par la méthode des combinaisons. Identité de ce problème avec celui qui consiste à déterminer les sorts d’un nombres de joueurs dont les adresses respectives sont connues lorsqu’il manque, pour gagner la partie, $x$ coups au premier, $x'$ au second, $x''$ au troisième, etc.

N^o 7  

 207

Solution générale du problème précédent par l’analyse des fonctions génératrices. Dans le cas de deux joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ dont les adresses respectives sont égales, le problème est celui que Pascal proposa à Fermat et que ces deux grands géomètres résolurent. Il revient à imaginer une urne qui renferme deux boules, l’une blanche et l’autre noire, portant chacune le n^o  1, la boule blanche étant pour le joueur $\mathrm {A} ,$ la boule noire pour le joueur $\mathrm {B} .$ On tire de l’urne une boule que l’on y remet ensuite pour procéder à un nouveau tirage, et l’on continue ainsi jusqu’à ce que la somme des numéros sortis, favorables à l’un des joueurs, atteigne un nombre donné. Après un certain nombre de tirages, il manque encore au joueur $\mathrm {A}$ le nombre $x$ et au joueur $\mathrm {B}$ le nombre $x'.$ Les deux joueurs conviennent alors de se retirer du jeu en partageant l’enjeu qu’ils ont mis en commençant : il s’agit de connaître comment doit se faire ce partage. Ce qui revient aux joueurs doit être évidemment proportionnel à leurs probabilités respectives de gagner la partie. Généralisation et solution du problème : 1^o en supposant dans l’urne une boule blanche favorable à $\mathrm {A}$ et portant le n^o  1 et deux boules noires favorables à $\mathrm {B}$ et portant l’une, le n^o  1, et l’autre, le n^o  2 ; chaque boule diminuant de son numéro le nombre des points qui manquent au joueur auquel elle est favorable ; 2^o en supposant dans l’urne deux boules blanches portant les n^os 1 et 2 et deux boules noires portant les mêmes numéros. N^o 8  

 209

Concevant dans une urne $r$ boules marquées du n^o  1, $r$ boules marquées du n^o  2, et ainsi de suite jusqu’au n^o  $n\,;$ ces boules étant bien mêlées dans l’urne et tirées toutes successivement, on demande la probabilité qu’il sortira au moins $s$ boules au rang indiqué par leur numéro. Solution générale du problème et de celui dans lequel, ayant $i$ urnes renfermant chacune le nombre $n$ de boules, toutes de couleurs différentes et que l’on tire toutes successivement de chaque urne en complétant le tirage d’une urne avant de passer à une autre urne, on demande la probabilité qu’une ou plusieurs boules de la même couleur sortiront au même rang dans les tirages complets des urnes. N^o 9  

 219

Deux joueurs $\mathrm {A}$ ef $\mathrm {B} ,$ dont les adresses respectives sont $p$ et $q$ et dont le premier a le nombre $a$ de jetons et le second le nombre $b,$ jouent à cette condition que celui qui perd donne un jeton à son adversaire et que la partie ne finisse que lorsque l’un des joueurs aura perdu tous ses jetons ; on demande la probabilité que l’un des joueurs gagnera la partie avant ou au $n$^ième coup. Fonction génératrice de cette probabilité, d’où l’on tire l’expression générale de la probabilité. Expression de la probabilité que la partie finira avant ou au $n$^ième coup. Ce qu’elle devient lorsqu’on suppose $a$ infini. Valeur très approchée de la même expression, lorsque l’on suppose de plus $p$ et $q$ égaux et lorsque $b$ est un nombre considérable. Si $b=100,$ il y a du désavantage à parier un contre un que $\mathrm {A}$ gagnera la partie dans $23780$ coups ; mais il y a de l’avantage à parier qu’il la gagnera dans $23781$ coups. N^o 10  

 228

Un nombre $n+1$ de joueurs jouent ensemble aux conditions suivantes : deux d’entre eux jouent d’abord, et celui qui perd se retire après avoir mis un franc au jeu, pour n’y rentrer qu’après que tous les autres joueurs ont joué ; ce qui a lieu généralement pour tous les joueurs qui perdent et qui par là deviennent les derniers. Celui  

 

des deux premiers joueurs qui a gagné joue avec le troisième, et, s’il le gagne, il continue de jouer avec le quatrième, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’il perde, ou jusqu’à ce qu’il ait gagné successivement tous les joueurs. Dans ce dernier cas, la partie est finie. Mais, si le joueur gagnant au premier coup est vaincu par l’un des autres joueurs, le vainqueur joue avec le joueur suivant et continue de jouer jusqu’à ce qu’il soit vaincu ou jusqu’à ce qu’il ait gagné de suite tous les joueurs. Le jeu continue ainsi juqu’à ce qu’un des joueurs gagne de suite tous les autres, ce qui finit la partie, et alors le joueur qui la gagne emporte tout ce qui a été mis au jeu. Cela posé, on demande : 1^o la probabilité que le jeu finira avant ou au nombre $x$ de coups ; 2^o la probabilité que l’un quelconque des joueurs gagnera la partie dans ce nombre de coups ; 3^o son avantage. Solution générale du problème. Fonctions génératrices de ces trois quantités, d’où l’on tire leurs valeurs. Expressions fort simples de ces quantités, lorsque $x$ est infini ou lorsque le jeu est continué indéfiniment.

N^o 11.  

 242

$q$ étant la probabilité d’un événement simple à chaque coup, on demande la probabilité de l’amener $i$ fois de suite dans le nombre $x$ de coups. Solution du problème. Fonction génératrice de cette probabilité, d’où l’on tire l’expression de la probabilité.  

 

Deux joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ dont les adresses respectives sont $q$ et $1-q,$ jouent à cette condition que celui des deux qui aura le premier vaincu $i$ fois de suite son adversaire gagnera la partie ; on demande les probabilités respectives des joueurs pour gagner la partie, avant ou au coup $x.$ Solution du problème au moyen des fonctions génératrices. Expressions de ces probabilités dans le cas de $x$ infini. Sorts respectifs des joueurs, en supposant qu’à chaque coup qu’ils perdent, ils déposent un franc au jeu. N^o 12  

 251

Une urne étant supposée contenir $n+1$ boules, distinguées par les n^os $0,1,2,3,\ldots ,n,$ on en tire une boule que l’on remet dans l’urne après le tirage ; on demande la probabilité qu’après $i$ tirages la somme des nombres amenés sera égale à $s.$ Solution du problème fondée sur un artifice singulier, qui consiste dans l’emploi d’une caractéristique propre à faire connaître la diminution successive qu’il faut faire subir à la variable, dans chaque terme du résultat final des intégrations successives, lorsqu’elles sont discontinues. Application de la solution au problème qui consiste à déterminer la probabilité d’amener un nombre donné, en projetant $i$ dés, chacun d’un nombre $n+1$ de faces, et au problème où l’on cherche la probabilité que la somme des inclinaisons à l’écliptique d’un nombre $s$ d’orbites sera comprise dans des limites données, en supposant toutes les inclinaisons, depuis zéro jusqu’à l’angle droit, également possibles. On fait voir que l’existence d’une cause commune qui a dirigé les mouvements de rotation et de révolution des planètes et des satellites, dans le sens de la rotation du Soleil, est indiquée avec une probabilité excessivement approchante de la certitude et bien supérieure à celle du plus grand nombre des faits historiques, sur lesquels on ne se permet aucun doute. La même solution, appliquée au mouvement et aux orbites des cent comètes observées jusqu’à ce jour, prouve que rien n’indique, dans ces astres, une cause primitive qui ait tendu à les faire mouvoir dans un sens plutôt que dans un autre, ou sous une inclinaison plutôt que sous une autre, au plan de l’écliptique. N^o  

 257

Solution du problème exposé au commencement du numéro précédent, dans le cas où le nombre des boules qui portent le même numéro n’est pas égal à l’unité et varie suivant une loi quelconque. N^o 14  

 265

Application de l’artifice exposé dans le n^o 13 à la solution de ce problème. Soient $i$ quantités variables dont la somme est $s$ et dont les lois de possibilité sont connues et peuvent être discontinues ; on propose de trouver la somme des produits de chaque valeur que peut recevoir une fonction quelconque de ces variables, multipliée par la probabilité’correspondante à cette valeur. Application de cette solution à la recherche de la probabihté que l’erreur du résultat d’un nombre quelconque d’observations dont les lois de facilité des erreurs sont exprimées par des fonctions rationnelles et entières de ces erreurs sera comprise dans des hmites données.  

 

Application de la même solution à la recherche d’une règle propre à faire connaître le résultat le plus probable des opinions émises par les divers membres d’un tribunal ; cette règle n’est point applicable aux choix des assemblées électorales. Règle relative à ces choix, lorsqu’on fait abstraction des passions des électeurs et des considérations étrangères au mérite, qui peuvent les déterminer. Ces diverses causes rendent cette règle sujette à de graves inconvénients qui l’ont fait abandonner.  

 

Recherche de la loi de probabilité des erreurs des observations, moyenne entre toutes celles qui satisfont aux conditions que les erreurs positives soient les mêmes que les erreurs négatives, et que leur probabilité diminue quand elles augmentent. N^o 15  

 266

Chapitre III. — Des lois de la probabilité qui résultent de la multiplication indéfinie des événements  

 280

$p$ étant la probabilité’de l’arrivée d’un événement simple à chaque coup et $1-p$ celle de sa non-arrivée, déterminer la probabilité que, sur un très grand nombre $n$ de coups, le nombre de fois que l’événement aura lieu sera compris dans des limites données. Solution du problème. Le nombre de fois le plus probable est $np.$ Expression de la probabilité que ce nombre de fois sera compris dans les limites $np\pm l.$ Les limites $\pm l$ restant les mêmes, cette probabilité augmente avec le nombre $n$ de coups : la probabilité restant la même, le rapport de l’intervalle $2l$ des limites au nombre $n$ se resserre quand $n$ augmente, et, dans le cas de $n$ infini, ce rapport devient nul et la probabilité se change en certitude. La solution du problème précédent sert encore à déterminer la probabilité que la valeur de $p,$ supposée inconnue, est comprise dans des limites données, lorsque, sur un très grand nombre $n$ de coups, on connaît le nombre $i$ des événements correspondants à $p$ qui sont arrivés : $p$ est à très peu près ${\frac {i}{n}},$ et généralement lorsque, dans un coup, il doit arriver l’un quelconque de plusieurs événements simples, les probabilités respectives de ces événements sont à très peu près proportionnelles au nombre de fois qu’ils arriveront dans un très grand nombre $n$ de coups. $\mathrm {P}$ étant la probabilité de l’arrivée d’un événement composé de deux événements simples, dont $p$ et $1-p$ sont les possibilités respectives et $1-\mathrm {P}$ étant la probabilité de la non-arrivée de cet événement composé, si sur un très grand nombre $n$ d’arrivées et de non-arrivées du même événement, on connaît le nombre $i$ de ces arrivées, on à la probabilité que la valeur de $\mathrm {P}$ sera comprise dans des limites données, et, comme $\mathrm {P}$ est une fonction connue de $p,$ on en conclut la probabilité que la valeur de $p$ sera comprise dans des limites données. N^o 16  

 275

Une urne $\mathrm {A}$ renfermant un très grand nombre $n$ de boules blanches et noires,  

 

à chaque tirage, ou en extrait une que l’on remplace par une boule noire ; on demande la probabilité que, après $r$ tirages, le nombre des boules blanches sera $x.$ 

 

 

La solution du problème dépend d’une équation linéaire aux différences finies partielles du premier ordre, à coefficients variables. Réduction de cette équation à une équation aux différences partielles infiniment petites. Intégration de cette dernière équation. Application de la solution au cas où l’urne est remplie primitivement de cette manière : on projette un prisme droit dont la base, étant un polygone régulier de $p+q$ côtés, est assez étroite pour que le prisme ne retombe jamais sur elle ; sur les $p+q$ faces latérales, $p$ sont blanches et $q$ sont noires et l’on met, dans l’urne $\mathrm {A} ,$ à chaque projection, une boule de la couleur de la face sur laquelle le prisme retombe.  

 

Deux urnes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ renferment chacune un très grand nombre $n$ de boules blanches et noires, le nombre des blanches étant égal à celui des noires dans la totalité $2n$ des boules ; on tire en même temps une boule de chaque urne, et l’on remet dans une urne la boule extraite de l’autre. En répétant un nombre quelconque $r$ de fois cette opération, on demande la probabilité qu’il y aura $x$ boules blanches dans l’urne $\mathrm {A} .$   

 

Le problème dépend d’une équation linéaire aux différences finies partielles du second ordre, à coefficients variables. Réduction de cette équation à une équation aux différences partielles infiniment petites du second ordre. Intégration de cette dernière équation au moyen d’une intégrale définie. Développement de cette intégrale en séries. Détermination des constantes de la série au moyen de sa valeur initiale. Théorèmes analytiques relatifs à cet objet. Application de la solution au cas où l’urne $A$ est primitivement remplie, comme dans le problème précédent. Valeur moyenne des boules blanches de chaque urne, après r tirages. Expression générale de cette valeur, dans le cas où l’on a un nombre $e$ d’urnes disposées circulairement et renfermant chacune un grand nombre $n$ de boules, les unes blanches et les autres noires, chaque tirage consistant à extraire en même temps une boule de chaque urne et à la remettre dans la suivante, en partant de l’une d’elles, dans un sens déterminé. N^o 17  

 289

Chapitre IV. — De la probabilité des erreurs des résultats moyens d’un grand nombre d’observations et des résultats moyens les plus avantageux  

 309

Déterminer la probabilité que la somme des erreurs d’un grand nombre d’observations sera comprise dans des limites données, en supposant que la loi de possibilité des erreurs est connue, et la même pour chaque observation, et que les erreurs négatives sont aussi possibles que les erreurs positives correspondantes. Expression générale de cette probabilité. N^o 18  

 309

Déterminer, dans les suppositions précédentes, la probabilité que la somme des erreurs d’un grand nombre d’observations ou la somme de leurs carrés, de leurs cubes, etc., sera comprise dans des limites données, abstraction faite du signe. Expression générale de cette probabilité et de la somme la plus probable. N^o 19  

 314

Un élément étant connu à fort peu près, déterminer sa correction par l’ensemble d’un grand nombre d’observations. Formation des équations de condition. En les disposant de manière que, dans chacune d’elles, le coefficient de la correction de l’élément ait le même signe, et les ajoutant, on forme une équation finale qui donne  

 

une correction moyenne. Expression de la probabilité que l’erreur de cette correction moyenne est comprise dans des limites données. La manière la plus générale de former l’équation finale est de multiplier chaque équation de condition par un facteur indéterminé et d’ajouter tous ces produits. Expression de la probabilité que l’erreur de la correction donnée par cette équation finale est comprise dans des limites données. Expression de l’erreur moyenne que l’on peut craindre en plus ou en moins. Détermination du système de facteurs qui rond cette erreur un minimum. On est conduit alors au résultat que donne la méthode des moindres carrés des erreurs des observations. Erreur moyenne de son résultat. Son expression dépend de la loi de facilité des erreurs des observations. Moyen de l’en rendre indépendant.

N^o 20  

 318

Corriger, par l’ensemble d’un grand nombre d’observations, plusieurs éléments déjà connus à fort peu près. Formation des équations de condition. En les multipliant chacune par un facteur indéterminé et ajoutant les produits, on forme une première équation finale : un second système de facteurs donne une seconde équation finale, et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on ait autant d’équations finales qu’il y a d’éléments à corriger. Expression des erreurs moyennes que l’on peut craindre sur chaque élément corrigé par ces équations finales. Détermination des systèmes de facteurs par la condition que ces erreurs moyennes soient des minima. On retombe dans la méthode des moindres carrés des erreurs des observations ; d’où il suit que cette méthode est celle que le Calcul des probabilités indique comme étant la plus avantageuse. Expression des erreurs moyennes qu’elle laisse encore à craindre, en plus ou en moins, sur chaque élément. Ces expressions sont indépendantes de la loi de facilité des erreurs de chaque observation et ne renferment que des données des observations. Moyen simple de comparer entre elles, du côté de la précision, diverses Tables astronomiques d’un même astre. N^o 21  

 327

Examen du cas où la possibilité des erreurs négatives n’est pas la même que celle des erreurs positives. Résultat moyen vers lequel converge la somme des produits des erreurs d’un grand nombre d’observations, par des facteurs quelconques ; probabilité de cette convergence. N^o 22  

 335

Examen du cas où l’on considère les observations déjà faites. Alors l’erreur de la première donne les erreurs de toutes les autres. La probabilité de cette erreur, prise a posteriori ou d’après les observations déjà faites, est le produit des probabilités respectives a priori des erreurs de chaque observation. En concevant donc une courbe dont l’abscisse soit l’erreur de la première observation, et dont ce produit soit l’ordonnée, cette courbe sera celle des probabilités a posteriori des erreurs de la première observation. L’erreur qu’il faut lui supposer est l’abscisse correspondante à l’ordonnée qui divise l’aire de la courbe en deux parties égales. La valeur de cette abscisse dépend de la loi inconnue des probabilités «joriori des erreurs des observations, et dans cette ignorance, il convient de s’en tenir au résultat le plus avantageux, déterminé a priori par les articles précédents. Recherche de la loi des probabilités a priori des erreurs, qui donne constamment la somme des erreurs nulle pour le résultat qu’il faut choisir a posteriori. Cette loi donne généralement la règle du minimum des carrés des erreurs des observations. Cette dernière règle devient nécessaire lorsque l’on doit choisir un résultat moyen entre plusieurs résultats, donnés chacun par un grand nombre d’observations de divers genres. N^o 23  

 338

Recherche du système de corrections de plusieurs éléments par un grand nombre  

 

d’observations, qui rend un minimum, abstraction faite du signe, la plus grande des erreurs qu’il leur suppose. Ce système est celui qui rend un minimum la somme des puissances semblables, très élevées et paires, de chaque erreur. Il diffère peu du système donné par la méthode des moindres carrés des erreurs des observations. Notice historique sur les méthodes de correction des éléments par les observations.

N^o 24  

 348

Chapitre V. — Application du Calcul des Probabilités à la recherche des phénomènes et de leurs causes  

 355

On peut, par l’analyse des Chapitres précédents, appliquée à un grand nombre d’observations, déterminer la probabilité de l’existence des phénomènes dont l’étendue est assez petite pour être comprise dans les limites des erreurs de chaque observation. Formules qui expriment que les probabilités de l’existence du phénomène et de son étendue sont comprises dans des limites données. Application à la variation diurne du baromètre et à la rotation de la Terre, déduite des expériences sur la chute des corps. La même analyse est applicable aux questions les plus délicates de l’Astronomie, de l’Économie politique, de la Médecine, etc., et à la solution des problèmes sur les hasards, trop compliqués pour être résolus directement par l’analyse. Un plancher étant divisé en petits carreawv rectangles par des lignes parallèles et perpendiculaires entre elles, déterminer la probabilité que, en projetant au hasard une aiguille, elle retombera sur un joint de ces carreaux. N^o 25  

 355

Chapitre VI. — De la probabilité des causes et des événements futurs, tirée des événements observés  

 370

Un événement observé étant composé d’événements simples du même genre et dont la possibilité est inconnue, déterminer la probabilité que cette possibilité est comprise dans des limites données. Expression de cette probabilité. Formule pour la déterminer par une série très convergente, lorsque l’événement observé est composé d’un grand nombre de ces événements simples. Extension de cette formule au cas où l’événement observé est composé de plusieurs genres différents d’événements simples. N^o 26  

 370

Application de ces formules aux problèmes suivants : Deux joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ jouent ensemble à cette condition que celui qui sur trois coups en aura gagné deux gagnera la partie, le troisième coup n’étant pas joué comme inutile, si le même joueur gagne les deux premiers coups. Sur un grand nombre $n$ de parties gagnées, $\mathrm {A}$ en a gagné le nombre $i$ ; on demande la probabilité que son adresse, respectivement au joueur $\mathrm {B} ,$ est comprise dans des limites données.  

 

On demande la probabilité que le nombre des coups joués est compris dans des limites déterminées. Enfin, ce dernier nombre étant supposé connu, on demande la probabilité que le nombre des parties est compris dans des limites données.  

 

Solutions de ces divers problèmes. N^o 27  

 377

Application des formules du n^o 26 aux naissances observées dans les principaux lieux de l’Europe. Partout le nombre des naissances des garçons est supérieur à celui des naissances des filles. Déterminer la probabilité qu’il existe une caute constante de cette supériorité, d’après les naissances observées dans un lieu donné.  

 

Solution du problème. Cette probabilité pour Paris diffère excessivement peu de la certitude.

N^o 28  

 384

À Paris, le rapport des baptêmes des garçons à ceux des filles est ${\frac {25}{24,}}$ tandis qu’à Londres ce rapport est ${\frac {19}{18}}.$ Déterminer la probabilité qu’il existe une cause constante de cette différence. Solution du problème. Cette probabilité est très grande. Conjecture vraisemblable sur cette cause. N^o 29  

  389

Recherche de la probabilité des résultats fondés sur les Tables de mortalité ou d’assurance, construises sur un grand nombre d’observations.  

 

Supposant que, sur un grand nombre $p$ d’individus de l’âge $\mathrm {A} ,$ on ait observe qu’il en existe $q$ à l’âge $\mathrm {A} +a,\ r$ à l’âge $\mathrm {A} +a+a',\ldots ,$ déterminer la probabilité que, sur un grand nombre $p'$ d’individus du même âge $\mathrm {A} ,$ il en existera ${\frac {p'q}{p}}\pm z$ à l’âge $\mathrm {A} +a,\ {\frac {p'r}{p}}\pm z'$ à l’âge $\mathrm {A} +a+a',\ldots .$ Solution du problème. Il en résulte qu’en augmentant le nombre $p$ on approche sans cesse de la vraie loi de mortalité, avec laquelle les résultats des observations coïncideraient, si $p$ était infini. N^o 30  

 392

Évaluer, au mnjen des naissances annuelles, la population d’un vaste empire. Solution du problème. Application à la France. Probabilité que l’erreur de cette évaluation sera comprise dans des limites données. N^o 31  

 398

Expression de la probabilité d’un événement futur, tirée d’un événement observé. Lorsque l’événement futur est composé d’un nombre d’événements simples, beaucoup plus petit que celui des événements simples qui entrent dans l’événement observé, on peut, sans erreur sensible, déterminer la possibilité de l’événement futur, en supposant à chaque événement simple la possibilité qui rond l’événement observé le plus probable. N^o 32  

 401

Depuis l’époque où l’on a distingué à Paris, sur les registres, les naissances de chaque sexe, on a observé que le nombre des naissances masculines l’emporte sur celui des naissances féminines ; déterminer la probabilité que cette supériorité annuelle se maintiendra dans un intervalle de temps donné, par exemple dans l’espace d’un siècle. N^o 33  

 404

Chapitre VII. — De l’influence des inégalités inconnues qui peuvent exister entre des chances que l’on suppose parfaitement égales  

 410

Examen des cas dans lesquels cette influence est favorable ou contraire. Elle est contraire à celui qui, au jeu de croix et pile, parie d’amener croix un nombre impair de fois, dans un nombre pair de coups. Moyen de corriger cette influence. N^o 34  

 410

Chapitre VIII. — Des durées moyennes de la vie, des mariages et des associations quelconques   

 416

Expression de la probabilité que la durée moyenne de la vie d’un grand nombre n d’enfants sera comprise dans ces limites, vraie durée moyenne de la vie, plus ou moins une quantité donnée très petite. Il en résulte que cette probabilité croit sans cesse à mesure que le nombre des enfants augmente et que, dans le cas d’un nombre  

 

infini, cette probabilité se confond avec la certitude, l’intervalle des limites devenant infiniment petit ou nul. Expression de l’erreur moyenne que l’on peut craindre en prenant pour durée moyenne de la vie celle d’un grand nombre d’enfants. Règle pour conclure des Tables de mortalité la durée moyenne de ce qui reste à vivre à une personne d’un âge donné.

N^o 35  

 416

Expression de la durée moyenne de la vie, si l’une des causes de mortalité vient à s’éteindre. Expression particulière au cas où l’on parvient à détruire une maladie qu’on ne peut contracter qu’une fois dans la vie. L’extinction de la petite vérole, au moyen de la vaccine, accroîtrait de plus de trois années la durée moyenne de la vie, si l’accroissement de population qui en résulterait n’était point arrêté par le défaut de subsistances. N^o 36  

 420

De la durée moyenne des mariages. Expression de leur durée moyenne la plus probable et de la probabilité que l’erreur de cette expression est comprise dans des limites données. De la durée moyenne des associations formées d’un nombre quelconque d’individus. N^o 37  

 423

Chapitre IX. — Des bénéfices dépendants de la probabilité des événements futurs  

 428

Si l’on attend un nombre quelconque d’événements simples dont les probabilités soient connues et dont l’arrivée procure un avantage, leur non-arrivée causant une perte, déterminer le bénéfice mathématique résultant de leur attente. Expression de la probabilité que le bénéfice réel sera compris dans des limites données, quand le nombre des événements attendus est très grand. Quelque peu d’avantage que produise chaque événement attendu, le bénéfice devient infiniment grand et certain, quand le nombre des événements est supposé infini. N^o 38  

 428

Si les diverses chances d’un événement attendu produisent des avantages et des pertes dont les probabilités respectives sont données, déterminer le bénéfice mathématique résultant de l’attente d’un nombre quelconque d’événements semblables. Expression de la probabilité que le bénéfice réel sera compris dans des limites données, lorsque ce nombre est très grand. N^o 39  

 432

Des bénéfices des établissements fondés sur les probabilités de la vie. Expression du capital qu’il faut donner pour constituer une rente viagère sur une ou plusieurs têtes. Expression de la rente qu’un individu doit donner à un établissement pour assurer à ses héritiers un capital payable à sa mort. Expression de la probabilité que le bénéfice réel de l’établissement sera compris dans des limites données, en supposant qu’un grand nombre d’individus, en constituant chacun une rente sur sa tête, versent chacun une somme déterminée dans la caisse de l’établissement, pour subvenir à ses frais. N^o 40  

 435

Chapitre X. — De l’espérance morale  

 441

Expression de la fortune morale, en partant de ce principe que le bien moral procuré à un individu, par une somme infiniment petite, est proportionnel à cette somme divisée parla fortune physique de cet individu. Expression de la fortune morale résultante de l’expectative d’un nombre quelconque d’événements qui procurent des bénéfices dont les probabilités respectives sont connues. Expression de la fortune  

 

physique correspondante à cette fortune morale. L’accroissement de cette fortune physique, résultant des événements attendus, est ce que je nomme avantage moral relatif à ces événements. Conséquences qui résultent de ces expressions. Le jeu mathématiquement le plus égal est toujours désavantageux. Il vaut mieux exposer sa fortune par parties à des daagers indépendants les uns des autres, que de l’exposer tout entière au même danger. En divisant ainsi sa fortune, l’avantage moral se rapproche sans cesse de l’avantage mathématique et finit par coïncider avec lui, lorsque la division est supposée infinie. L’avantage moral peut être augmenté au moyen des caisses d’assurance, en même temps que ces caisses produisent aux assureurs un bénéfice certain. N^o 41  

 441

Explication, au moyen de la théorie précédente, d’un paradoxe que présente le Calcul des Probabihtés. N^o 42  

 448

Comparaison de l’avantage moral du placement d’un même capital sur une tête avec celui du placement sur deux têtes. On peut à la fois, par de semblables placements, accroître son propre avantage et assurer dans l’avenir le sort des personnes qui nous intéressent. N^o 43  

 451

Chapitre XI. — De la probabilité des témoignages  

 455

On a extrait une boule d’une urne qui en renferme le nombre $n\,;$ un témoin de ce tirage, dont la véracité et la probabilité qu’il ne se méprend point sont supposées connues, annonce la sortie du n^o $i\,;$ on demande la probabilité de cette sortie. N^o 44  

 455

On a extrait une boule d’une urne qui contient $n-1$ boules noires et une boule blanche. Un témoin du tirage annonce que la boule extraite est blanche ; on demande la probabilité de cette sortie. Si le nombre $n$ est très grand, ce qui rend extraordinaire la sortie de la boule blanche, la probabilité de l’erreur ou du mensonge du témoin devient fort approchante de la certitude, ce qui montre comment les faits extraordinaires affaiblissent la croyance due aux témoignages. N^o 45  

 458

L’urne $\mathrm {A}$ contient $n$ boules blanches, l’urne $\mathrm {B}$ contient le même nombre de boules noires ; on a extrait une boule de l’une de ces urnes et on l’a mise dans l’autre urne dont on a ensuite extrait une boule. Un te’moin du premier tirage annonce qu’il a vu sortir une boule blanche. Un témoin du second tirage annonce qu’il a vu pareillement extraire une boule blanche. On demande la probabilité’de cette double sortie. Pour que cette double sortie ait lieu, il faut qu’une boule blanche extraite de l’urne $\mathrm {A}$ au premier tirage, mise ensuite dans l’urne $\mathrm {B} ,$ en ait été extraite au second tirage, ce qui est un événement fort extraordinaire, lorsque le nombre $n$ déboules noires avec lesquelles on l’a mêlée est très considérable. La probabilité de cet événement devient alors très petite ; d’où il suit que la probabilité du fait, résultante de l’ensemble de plusieurs témoignages, décroît à mesure que ce fait devient plus extraordinaire. N^o 46  

 460

Deux témoins attestent la sortie du n^o $i$ d’une urne qui en renferme le nombre $n,$ et dont on n’a extrait qu’un numéro. On demande la probabilité de cette sortie.  

 

Un des témoins atteste la sortie du n^o $i$ et l’autre atteste la sortie du n^o $i'\,;$ déterminer la probabilité de la sortie du n^o $i.$ N^o 47  

 453

Une ou plusieurs chaînes traditionnelles de $r$ témoins transmettent la sortie du n^o $i$ d’une urne qui en contient le nombre $n\,;$ déterminer la probabilité’de cette sortie. N^o 48  

 466

On connaît les véracités respectives de deux témoins, dont un au moins, et peut-être  

 

tous deux, attestent la sortie du n^o $i$ d’une urne qui en contient le nombre $n$ déterminer la probabilité de cette sortie.

N^o 49  

 467

Les jugements des tribunaux peuvent être assimilés aux témoignages. Déterminer la probabilité de la bonté de ces jugements. N^o 50  

 469

ADDITIONS.

I. On déduit de l’analyse du n^o 34 du Livre I l’expression du rapport de la circonférence au rayon, donnée par Wallis, en produits infinis. Analyse de la méthode remarquable par laquelle ce grand géomètre y est parvenu, méthode qui contient les germes des théories des interpolations et des intégrales définies   

 471

II. Démonstration directe de l’expression de $\triangle ^{n}s^{i},$ trouvée dans le n^o 40 du Livre I, par les passages du positif au négatif et du réel à l’imaginaire   

 480

III. Démonstration de la formule $(p)$ du n^o 42 du Livre I ou de l’expression des différences finies des puissances, lorsque l’on arrête cette expression au terme où la quantité élevée à la puissance devient négative   

 485

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SUPPLÉMENTS.

Premier supplément. — Sur l’application du Calcul des Probabilités à la Philosophie naturelle   

 497

Deuxième supplément. — Application du Calcul des Probabilités aux opérations géodésiques   

 531

Troisième supplément. — Application des formules géodésiques de probabilité à la méridienne de France   

 581

Quatrième supplément   

 617