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THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

or on a

${\frac {1}{(1-\theta )^{2}-z\theta }}={\frac {1}{(1-\theta )^{2}}}+{\frac {z\theta }{(1-\theta )^{4}}}+{\frac {z^{2}\theta ^{2}}{(1-\theta )^{6}}}+\ldots \,;$

d’ailleurs le coefficient de $\theta ^{r}$ dans le développement de ${\frac {1}{(1-\theta )^{2}}}$ est

${\frac {s(s+1)(s+2)\ldots (s+r-1)}{1.2.3\ldots r}},$

d’où il suit que le coefficient de $\theta ^{i}$ est : 1^o $i+1$ dans le développement de ${\frac {1}{(1-\theta )^{2}}}\,;$ 2^o ${\frac {i(i+1)(i+2)}{1.2.3}}$ dans le développement de ${\frac {\theta }{(1-\theta )^{4}}}\,;$ 3^o ${\frac {(i-1)i(i+1)(i+2)(i+3)}{1.2.3.4.5}}$ dans le développement de ${\frac {\theta ^{2}}{(1-\theta )^{6}}},$ et ainsi du reste ; donc, si l’on nomme $\mathrm {Z}$ le coefficient de $\theta ^{i}$ dans le développement de la fonction

${\frac {1}{(1-\theta )^{2}-z\theta }}$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {Z} =i+1&+{\frac {i(i+1)(i+2)}{1.2.3}}z+{\frac {(i-1)i(i+1)(i+2)(i+3)}{1.2.3.4.5}}z^{2}\\&+{\frac {(i-2)(i-1)(i+1)(i+2)(i+3)(i+4)}{1.2.3.4.5.6.7}}z^{3}+\ldots \end{aligned}}$

ou

$\mathrm {Z} =(i+1)\left\{1+{\frac {\left[(i+1)^{2}-1\right]z}{1.2.3}}+{\frac {\left[(i+1)^{2}-1\right]\left[(i+1)^{2}-4\right]z^{2}}{1.2.3.4.5}}+\ldots \right\}\,;$

si l’on nomme ensuite $\mathrm {Z} '$ le coefficient de $\theta ^{i}$ dans le développement de

${\frac {\theta }{(1-\theta )^{2}-z\theta }},$

on aura $\mathrm {Z} '$ en changeant $i$ en $i-1$ dans $\mathrm {Z}$, ce qui donne

$\mathrm {Z} '=i\left[1+{\frac {\left(i^{2}-1\right)z}{1.2.3}}+{\frac {\left(i^{2}-1\right)\left(i^{2}-4\right)z^{2}}{1.2.3.4.5}}+\ldots \right],$