numéro précédent, que la somme des carrés des erreurs des observations est à très peu près
et que, si elles sont en grand nombre, il devient extrêmement probable que la somme observée ne s’écartera pas de cette valeur d’une quantité sensible ; on peut donc les égaler ; or la somme observée est égale à
ou à
en substituant pour
sa valeur
on trouve ainsi
![{\displaystyle 2s{\frac {a^{2}k''}{k}}={\frac {\mathrm {S} p^{(i)2}.\mathrm {S} \alpha ^{(i)2}-\left(\mathrm {S} p^{(i)}\alpha ^{(i)}\right)^{2}}{\mathrm {S} p^{(i)2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc5df3fd00487097d0091bad2903da43aa84584c)
L’expression précédente de l’erreur moyenne à craindre sur le résultat
devient alors
![{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\mathrm {S} p^{(i)2}.\mathrm {S} \alpha ^{(i)2}-\left(\mathrm {S} p^{(i)}\alpha ^{(i)}\right)^{2}}}{\mathrm {S} p^{(i)2}{\sqrt {2s\pi }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828c7b3652b5cc05f981ee12faaed94fe6756ca6)
expression dans laquelle il n’y a rien qui ne soit donné par les observations et par les coefficients des équations de condition,
21. Supposons maintenant que l’on ait deux éléments à corriger par l’ensemble d’un grand nombre d’observations. En nommant
et
les corrections respectives de ces éléments, on formera, comme dans le numéro précédent, des équations de condition, qui seront comprises dans cette forme générale
![{\displaystyle \varepsilon ^{(i)}=p^{(i)}z+q^{(i)}z'-\alpha ^{(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03990983367386f580f6bcba2ef4b472b1b9b5b5)
étant, comme dans ce numéro, l’erreur de l’observation
ième. Si l’on multiplie respectivement par
ces équations, et que l’on ajoute ensemble ces produits, on aura une première équation finale
![{\displaystyle \mathrm {S} m^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=z.\mathrm {S} m^{(i)}p^{(i)}+z'.\mathrm {S} m^{(i)}q^{(i)}-\mathrm {S} m^{(i)}\alpha ^{(i)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c2cb12f0a416a07853a4d7000e1605bbffa1a7)
En multipliant encore les mêmes équations respectivement par ![{\displaystyle n,n^{(1)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d18faa0e8cf5ea5bf2915c183541ad6caa3a359)
et ajoutant ces produits, on aura une seconde équation finale
![{\displaystyle \mathrm {S} n^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=z.\mathrm {S} n^{(i)}p^{(i)}+z'.\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)}-\mathrm {S} n^{(i)}\alpha ^{(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4da7ea61c095428b82970f6a80101dc949c036f3)