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numéro précédent, que la somme des carrés des erreurs des observations est à très peu près $2s{\frac {a^{2}k''}{k}},$ et que, si elles sont en grand nombre, il devient extrêmement probable que la somme observée ne s’écartera pas de cette valeur d’une quantité sensible ; on peut donc les égaler ; or la somme observée est égale à $\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)2}$ ou à $\mathrm {S} \left(p^{(i)}z-\alpha ^{(i)}\right)^{2},$ en substituant pour $z$ sa valeur ${\frac {\mathrm {S} p^{(i)}\alpha ^{(i)}}{\mathrm {S} p^{(i)2}}}\,;$ on trouve ainsi

$2s{\frac {a^{2}k''}{k}}={\frac {\mathrm {S} p^{(i)2}.\mathrm {S} \alpha ^{(i)2}-\left(\mathrm {S} p^{(i)}\alpha ^{(i)}\right)^{2}}{\mathrm {S} p^{(i)2}}}.$

L’expression précédente de l’erreur moyenne à craindre sur le résultat $z$ devient alors

$\pm {\frac {\sqrt {\mathrm {S} p^{(i)2}.\mathrm {S} \alpha ^{(i)2}-\left(\mathrm {S} p^{(i)}\alpha ^{(i)}\right)^{2}}}{\mathrm {S} p^{(i)2}{\sqrt {2s\pi }}}},$

expression dans laquelle il n’y a rien qui ne soit donné par les observations et par les coefficients des équations de condition,

21. Supposons maintenant que l’on ait deux éléments à corriger par l’ensemble d’un grand nombre d’observations. En nommant $z$ et $z'$ les corrections respectives de ces éléments, on formera, comme dans le numéro précédent, des équations de condition, qui seront comprises dans cette forme générale

$\varepsilon ^{(i)}=p^{(i)}z+q^{(i)}z'-\alpha ^{(i)},$

$\varepsilon ^{(i)}$ étant, comme dans ce numéro, l’erreur de l’observation $(i+1)$^ième. Si l’on multiplie respectivement par $m,m^{(1)},\ldots ,m^{(s-1)}$ ces équations, et que l’on ajoute ensemble ces produits, on aura une première équation finale

$\mathrm {S} m^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=z.\mathrm {S} m^{(i)}p^{(i)}+z'.\mathrm {S} m^{(i)}q^{(i)}-\mathrm {S} m^{(i)}\alpha ^{(i)}.$

En multipliant encore les mêmes équations respectivement par $n,n^{(1)},$$\ldots ,n^{(s-1)}$ et ajoutant ces produits, on aura une seconde équation finale

$\mathrm {S} n^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=z.\mathrm {S} n^{(i)}p^{(i)}+z'.\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)}-\mathrm {S} n^{(i)}\alpha ^{(i)},$