des problèmes suivants, par le comte de Laplace, mon fils, et les considérations qu’il y a jointes répandront un nouveau jour sur le calcul des fonctions génératrices.
2. Un joueur tire d’une urne, renfermant des boules blanches et noires, une boule qu’il remet après le coup, avec la probabilité d’amener une boule blanche et la probabilité d’en extraire une noire ; un second joueur tire ensuite, d’une autre urne, une boule qu’il remet également après le tirage, avec les probabilités d’une boule blanche et d’une noire. Ces deux joueurs continuent ainsi à extraire alternativement, chacun de leur urne respective, une boule qu’ils ont toujours soin de remettre. Si l’un des joueurs amène une boule blanche, il compte un point ; si, au contraire, il fait sortir une boule noire, il ne compte rien, et le tour de jouer passe simplement à l’autre. Les joueurs ayant réglé, par les conditions de leur jeu, le nombre de points que chacun doit atteindre le premier pour gagner la partie, et ayant commencé à jouer, il manque encore au joueur le nombre de points pour gagner, et au joueur et le tour de jouer appartient au joueur On demande, dans cette position, quelle est la probabilité de l’un et l’autre joueur pour gagner la partie.
Soit la probabilité de second joueur et représentons par sa probabilité, s’il était le premier à jouer. Le joueur en commençant, peut amener une boule blanche, et la probabilité de devient ou le premier joueur fait sortir une noire, et alors ne compte rien, et la probabilité du second se change en mais la probabilité du premier cas est celle du second on aura donc l’équation
par un raisonnement semblable, on aura encore celle-ci
d’où l’on tire
