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ce qui donne les probabilités des diverses causes, lorsqu’elles ne sont pas toutes également possibles a priori.

Pour appliquer le principe précédent à un exemple, supposons qu’une urne renferme trois boules dont chacune ne puisse être que blanche ou noire ; qu’après avoir tiré une boule, on la remette dans l’urne pour procéder à un nouveau tirage, et qu’après $m$ tirages, on n’ait amené que des boules blanches. Il est visible que l’on ne peut faire a priori que quatre hypothèses ; car les boules peuvent être ou toutes blanches, ou deux blanches et une noire, ou deux noires et une blanche, ou enfin toutes noires. Si l’on considère ces hypothèses comme autant de causes de l’événement observé, les probabilités de l’événement relatives à ces causes seront

$1,\qquad {\frac {2^{m}}{3^{m}}},\qquad {\frac {1}{3^{m}}},\qquad 0.$

Les probabilités respectives de ces hypothèses, tirées de l’événement observé, seront donc, par le troisième principe,

${\frac {3^{m}}{3^{m}+2^{m}+1}},\qquad {\frac {2^{m}}{3^{m}+2^{m}+1}},\qquad {\frac {1}{3^{m}+2^{m}+1}},\qquad 0.$

On voit, au reste, qu’il est inutile d’avoir égard aux hypothèses qui excluent l’événement, parce que, la probabilité résultante de ces hypothèses étant nulle, leur omission ne change point les expressions des autres probabilités.

Si l’on veut avoir la probabilité de n’amener que des boules noires dans les $m'$ tirages suivants, on déterminera a priori les probabilités d’amener d’abord $m$ boules blanches, ensuite $m'$ boules noires. Ces probabilités sont, relativement aux hypothèses précédentes.

$0,\qquad {\frac {2^{m}}{3^{m+m'}}},\qquad {\frac {2^{m'}}{3^{m+m'}}},\qquad 0,$

et comme, a priori, les quatre hypothèses sont également possibles, la probabilité de l’événement composé sera le quart de la somme des quatre