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47. Considérons les témoignages simultanés : supposons deux témoins d’accord sur un fait, et déterminons sa probabilité. Pour fixer les idées, supposons que le fait soit l’extraction du n^o $i$ d’une urne qui en renferme le nombre $n,$ en sorte que l’événement observé soit l’accord de deux témoins du tirage à énoncer la sortie du n^o $i.$ Nommons $p$ et $p'$ leurs véracités respectives, et supposons, pour simplifier, qu’ils ne se trompent point. Cela posé, on ne peut former que ces deux hypothèses : les témoins disent la vérité ; les témoins trompent.

Dans la première hypothèse, le n^o $i$ est sorti, et la probabilité de cet événement est ${\frac {1}{n}}.$ En la multipliant par le produit des véracités $p$ et $p'$ des témoins, on aura ${\frac {pp'}{n}}$ pour la probabilité de l’événement observé, dans cette hypothèse.

Dans la seconde, le n^o $i$ n’est pas sorti, et la probabilité de cet événement est ${\frac {n-1}{n}}\,;$ mais les deux témoins s’accordent à choisir le n^o $i$ parmi les $n-1$ numéros non sortis. Or le nombre des combinaisons différentes qui peuvent résulter de leur choix est $(n-1)^{2},$ et dans ce nombre ils doivent choisir celle où le n^o $i$ est combiné avec lui-même ; la probabilité de ce choix est donc ${\frac {1}{(n+1)^{2}}}.$ En la multipliant par la probabilité précédente ${\frac {n-1}{n}},$ et par les produits des probabilités $1-p$ et $1-p'$ que les témoins trompent, on aura ${\frac {(1-p)(1-p')}{n(n-1)}}$ pour la probabilité de l’événement observé, dans la seconde hypothèse.

Maintenant, on aura la probabilité de la sortie du n^o $i$ en divisant la probabilité relative à la première hypothèse par la somme des probabilités relatives aux deux hypothèses ; on aura donc, pour cette probabilité,

$(o)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {pp'}{pp'+{\cfrac {(1-p)(1-p')}{n-1}}}}.$

Si $n=2,$ alors la sortie du n^o $i$ est aussi probable que sa non-sortie,