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mais ils ont le même signe lorsque $n-z-2r$ est négatif ; et la puissance précédente doit, par ce qui précède, être changée dans $(2r+z-n)^{n-1+{\frac {m}{n}}}.$ La somme des termes relatifs à cette puissance est

${\frac {(-1)^{r}{\cfrac {n(n-1)\ldots (n-r+1)}{1.2.3\ldots r}}(z+2r-n)^{n-1+{\frac {m}{n}}}}{2^{n}\left(n+{\cfrac {m}{n}}-1\right)\ldots {\cfrac {m}{n}}}}k'\sin {\frac {m\pi }{n}}\,;$

or ce terme se rencontre dans la série du second membre de l’équation $(i).$ Cette série contient le terme

${\frac {(-1)^{r'}{\cfrac {n(n-1)\ldots (n-r'+1)}{1.2.3\ldots r'}}(z+2r'-n)^{n-1+{\frac {m}{n}}}}{2^{n}\left(n+{\cfrac {m}{n}}-1\right)\ldots {\cfrac {m}{n}}}}k'\sin {\frac {m\pi }{n}},$

$n+z-2r'$ étant supposé positif. Si l’on fait $n-2r'=2r-n,$ ce qui donne $r'=n-r,$ ce terme devient égal au précédent ; car alors on a $(-1)^{r'}=(-1)^{r}$ et

${\frac {n(n-1)\ldots (n-r'+1)}{1.2.3\ldots r'}}={\frac {n(n-1)\ldots (n-r+1)}{1.2.3\ldots r}}.$

La formule (T) du n^o 24 du Livre I^er donne

${\frac {1}{r-1}}\int t^{r-1}dtc^{-t}\int t^{1-r}dtc^{-t}={\frac {\pi }{\sin(r-1)\pi }},$

les intégrales étant prises depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini. Si l’on suppose $r-1={\frac {m}{n}},$ on aura

$\int t^{\frac {m}{n}}dtc^{-t}\int t^{-{\frac {m}{n}}}dtc^{-t}={\frac {{\cfrac {m}{n}}\pi }{\sin {\cfrac {m\pi }{n}}}}.$

Ce que nous avons nommé $k$ dans la formule $(p)$ du n^o 42 du Livre I^er est égal à $\int t^{n+m-1}dtc^{-t^{n}},$ et il est facile de voir que, les intégrales étant