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Donnons à la fonction génératrice de $z_{x}$ cette forme

${\frac {1}{2^{n}}}{\frac {t^{n}(2-t)}{1-t}}\left[1-{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {t^{n}}{1-t}}+{\frac {1}{2^{2n}}}{\frac {t^{2n}}{(1-t)^{2}}}-\ldots \right]\,;$

le coefficient de $t^{x}$ dans ${\frac {t^{rn}(2-t)}{2^{rn}(1-t)^{r}}}$ est

${\frac {1}{2^{rn}}}{\frac {(x-rn+1)(x-rn+2)\ldots (x-rn+r-2)}{1.2.3\ldots (r-1)}}(x-rn+2r-2)\,;$

on a donc

${\begin{aligned}z_{x}={\frac {1}{2^{n}}}&-{\frac {x-2n+1}{2^{2n}}}+{\frac {x-3n+1}{1.2.2^{3n}}}(x-3n+4)\\&-{\frac {(x-4n+1)(x-4n+2)}{1.2.3.2^{4n}}}(x-4n+6)+\ldots .\end{aligned}}$

expression qui n’est relative qu’à $x$ plus grand que $n,$ et dans laquelle il ne faut prendre qu’autant de termes qu’il y a d’unités entières dans le quotient ${\frac {x}{n}}.$ Lorsque $x=n,$ on a $z_{x}={\frac {1}{2^{n-1}}}.$

En développant de la même manière la fonction génératrice de la probabilité que la partie finira avant ou au coup $x,$ on trouvera pour l’expression de cette probabilité

${\begin{aligned}{\frac {x-n+2}{2^{n}}}&-{\frac {x-2n+1}{1.2.2^{2n}}}(x-2n+4)\\&+{\frac {(x-3n+1)(x-3n+2)}{1.2.3.2^{3n}}}(x-3n+6)-\ldots .\end{aligned}}$

cette expression ayant lieu dans le cas même de $x=n.$

Déterminons maintenant les probabilités respectives des joueurs pour gagner la partie au coup $x.$ Soit $y_{0,x}$ celle du joueur qui a gagné le premier coup. Soient $y_{1,x},y_{2,x},\ldots y_{n-1,x}$ celles des joueurs suivants, et $y_{n,x}$ celle du joueur qui a perdu au premier coup, et qui par là est devenu le dernier. Désignons les joueurs par $(0),(1),(2),\ldots ,(n-1),(n).$ Cela posé, la probabilité $y_{r,x}$ du joueur $(r)$ devient $y_{r-1,x-1},$ si au second coup le joueur $(0)$ est vaincu par le joueur $(1)\,;$