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ches au nombre total des boules de l’urne. La probabilité de l’événement observé dans le premier tirage sera exprimée par le terme qui a pour facteur $x^{q}(1-x)^{p-q}$ dans le développement du binôme $\left[x+(1-x)\right]^{p},$ d’où il est facile de conclure, comme dans le numéro précédent, que la probabilité de $x$ est

${\frac {x^{q}dx(1-x)^{p-q}}{\int x^{q}dx(1-x)^{p-q}}},$

l’intégrale du dénominateur étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1.$ Concevons maintenant que, dans le second tirage, le nombre total des boules extraites est ${\frac {pq'}{q}}+z\,;$ la probabilité du nombre observé $q'$ de boules blanches sera le terme du binôme $\left[x+(1-x)\right]^{{\frac {pq'}{q}}+z},$ qui a pour facteur $x^{q'}(1-x)^{{\frac {pq'}{q}}+z-q'}\,;$ cette probabilité est donc

${\frac {1.2.3\ldots \left({\cfrac {pq'}{q}}+z\right)}{1.2.3\ldots q'.1.2.3\ldots \left({\cfrac {pq'}{q}}+z-q'\right)}}x^{q'}(1-x)^{{\frac {pq'}{q}}+z-q'}.$

En la multipliant par la probabilité précédente de $x,$ en intégrant le produit depuis $x=0$ jusqu’à $x=1,$ et en le divisant par ce même produit multiplié par $dz$ et intégré pour toutes les valeurs positives et négatives de $z,$ on aura la probabilité que le nombre total des boules extraites est ${\frac {pq'}{q}}+z.$ On trouvera ainsi, par l’analyse du numéro précédent, cette probabilité égale à

${\sqrt {\frac {q^{3}}{2pq'(p-q)(q+q')\pi }}}c^{-{\frac {q^{2}z^{2}}{2pq'(p-q)(q+q')}}}.$

En nommant donc $\mathrm {P}$ la probabilité que le nombre des boules extraites dans le second tirage est compris dans les limites ${\frac {pq'}{q}}\pm z,$ on aura

$\mathrm {P} =1-2\int dz{\sqrt {\frac {q^{3}}{2pq'(p-q)(q+q')\pi }}}c^{-{\frac {q^{2}z^{2}}{2pq'(p-q)(q+q')}}},$

l’intégrale étant prise depuis $z=z$ jusqu’à $z$ infini.