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LIVRE PREMIER.

peut, en les réduisant en fractions continues, obtenir des approximations toujours convergentes.

Ce que nous venons de dire sur la série précédente peut s’étendre à toutes celles que nous avons considérées et doit ôter toute inquiétude sur les usages que nous en avons faits. En effet, on peut toujours arrêter ces séries au point où elles cessent d’être convergentes, et représenter le reste par une intégrale. C’est ce que nous allons faire voir sur la formule la plus générale du développement des fonctions en séries.

On a, en prenant l’intégrale depuis $z=0,$

$\int dz(\varphi '(x-z)=\varphi (x)-\varphi (x-z),$

$\varphi '(x)$ étant la différentielle de $\varphi (x)$ divisée par $dx.$ Si l’on désigne pareillement par $\varphi ''(x)$ la différentielle de $\varphi '(x)$ divisée par $dx,$ par $\varphi '''(x)$ la différentielle de $\varphi ''(x)$ divisée par $dx$ et ainsi de suite, on aura

${\begin{aligned}&\int dz\varphi '(x-z)=z\varphi '(x-z)+\int zdz\varphi ''(x-z),\\&\int zdz\varphi ''(x-z)={\frac {1}{2}}z^{2}\varphi ''(x-z)+\int {\frac {1}{2}}z^{2}dz\varphi '''(x-z),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

En continuant ainsi, on trouvera généralement

${\begin{aligned}\int dz\varphi '(x-z)&=z\varphi '(x-z)+{\frac {z^{2}}{1.2}}\varphi ''(x-z)+\ldots \\&+{\frac {z^{n}}{1.2.3\ldots n}}\varphi ^{(n)}(x-z)+\int {\frac {z^{n}dz}{1.2.3\ldots n}}\varphi ^{(n+1)}(x-z).\end{aligned}}$

En comparant cette expression à la précédente, on aura

${\begin{aligned}\varphi (x)&=\varphi (x-z)+z\varphi '(x-z)+{\frac {z^{2}}{1.2}}\varphi ''(x-z)+\ldots \\&+{\frac {z^{n}}{1.2.3\ldots n}}\varphi ^{(n)}(x-z)+{\frac {1}{1.2.3\ldots n}}\int z^{n}dz\varphi ^{(n+1)}(x-z).\end{aligned}}$

Faisons $x-z=t,$ l’équation précédente prendra cette forme

${\begin{aligned}\varphi (t+z)&=\varphi (t)+z\varphi '(t)+{\frac {z^{2}}{1.2}}\varphi ''(t)+\ldots \\&+{\frac {z^{n}}{1.2.3\ldots n}}\varphi ^{(n)}(t)+{\frac {1}{1.2.3\ldots n}}\int z'^{n}dz'\varphi ^{(n+1)}(t+z-z'),\end{aligned}}$