Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/215

27

LIVRE PREMIER.

On trouvera de la même manière que, si $\mathrm {V}$ contient trois facteurs égaux, la somme des termes de l’expression de $y_{i}$ relatifs à ces trois facteurs est

$-{\frac {1}{1.2.1.2.3}}{\frac {d^{2}}{d\alpha ^{2}}}{\frac {k}{\alpha ^{i+1}{\cfrac {d^{3}\mathrm {V} }{d\theta ^{3}}}}},$

et ainsi de suite. $\mathrm {Z} _{i}^{(0)}$ étant, par ce qui précède, le coefficient de $\theta ^{i}$ dans le développement de ${\frac {1}{\mathrm {V} }},$ il en résulte que $y_{i}$ est le coefficient de $\theta ^{i}$ dans le développement de la fonction

${\frac {\left\{{\begin{aligned}&y_{0}\left(b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+\ldots +q\right)\\+&y_{1}\left(c\theta ^{n-1}+e\theta ^{n-2}+\ldots +q\theta \right)\\+&y_{2}\left(e\theta ^{n-1}+\ldots +q\theta ^{2}\right)\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&y_{n-1}q\theta ^{n-1}\end{aligned}}\right\}}{a\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+\ldots +p\theta +q}}$

Cette fonction est donc la fonction génératrice de $y_{i}$ ou de la variable principale de l’équation aux différences $\nabla y_{i}=0.$ La formule (B) du numéro précédent donnera pareillement la valeur de $y_{i}$ ou l’intégrale complète de l’équation aux différences $\nabla ^{2}y_{i}=0\,;\ \nabla y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n-1},$$\nabla y_{n-1}$ seront les $2n$ arbitraires de cette intégrale. Le cas des racines égales se résoudra de la même manière que ci-dessus. On aura par la même formule l’intégrale des équations aux différences $\nabla ^{3}y_{i}=0,$$\nabla ^{4}y_{i}=0,\ldots ,$ ce qui montre l’ana\logie qui existe entre l’interpolation des suites et l’intégration des équations aux différences.

Soit $y_{i}=y'_{i}+y''_{i},$ et supposons que $u'$ soit la fonction génératrice de $y'_{i},$ et $u''$ celle de $y''_{i},\ u$ étant celle de $y_{1}\,;$ on aura $u=u'+u''.$ Soit encore

$u''={\frac {\lambda }{z^{s}}},$

$z$ ayant la signification que nous lui avons donnée dans le n^o 5, et nommons $\mathrm {X} _{i}$ le coefficient de $t^{i}$ dans le développement de $\lambda \,;$ on aura, par le n^o 2,

$X_{i}=\nabla ^{s}y''_{i}.$