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LIVRE PREMIER.

cette équation prendra la forme

$\mathrm {S} =\int \varphi dx\left\{{\begin{aligned}\delta y&\left[a\quad +b\quad \left(c^{-x}-1\right)+e\quad \left(c^{-x}-1\right)^{2}+\ldots \right]\\-{\frac {xd\delta y}{dx}}\quad &\left[a^{(1)}+b^{(1)}\left(c^{-x}-1\right)+e^{(1)}\left(c^{-x}-1\right)^{2}+\ldots \right]\\+{\frac {x^{2}d^{2}\delta y}{dx^{2}}}&\left[a^{(2)}+b^{(2)}\left(c^{-x}-1\right)+e^{(2)}\left(c^{-x}-1\right)^{2}+\ldots \right]\\-\ \ \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}.$

En représentant généralement $y_{s}$ par $\int \delta y\varphi dx,$ les deux formes que l’équation (1) prend dans les suppositions de $\delta y=x^{s}$ et de $\delta y=c^{-sx}$ seront comprises dans la suivante

$\mathrm {S} =\int \varphi dx\left(\mathrm {M} \delta y+\mathrm {N} {\frac {d\delta y}{dx}}+\mathrm {P} {\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}}+\mathrm {Q} {\frac {d^{3}\delta y}{dx^{3}}}+\ldots \right).$

$\mathrm {M,N,P,Q} ,\ldots$ étant des fonctions de $x$ indépendantes de la variable $s$, qui n’entre dans le second membre de cette équation qu’au tant que $\delta y$ et ses différences en sont fonctions.

Maintenant, pour y satisfaire, on intégrera par parties ses différents termes ; or on a

${\begin{aligned}\int {\frac {d\delta y}{dx}}\ \ \mathrm {N} \varphi dx=&\delta y\mathrm {N} \varphi -\int \delta y{\frac {d(\mathrm {N} \varphi )}{dx}}dx,\\\int {\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}}\mathrm {P} \varphi dx=&{\frac {d\delta y}{dx}}\mathrm {P} \varphi -\delta y{\frac {d(\mathrm {P} \varphi )}{dx}}+\int \delta y{\frac {d^{2}(\mathrm {P} \varphi )}{dx^{2}}}dx,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

l’équation précédente devient ainsi

${\begin{aligned}\mathrm {S} =&\int \delta ydx\left[\mathrm {M} \varphi -{\frac {d(\mathrm {N} \varphi )}{dx}}+{\frac {d^{2}(\mathrm {P} \varphi )}{dx^{2}}}-{\frac {d^{3}(\mathrm {Q} \varphi )}{dx^{3}}}+\ldots \right]\\&+\mathrm {C} +\delta y\left[\mathrm {N} \varphi -{\frac {d(\mathrm {P} \varphi )}{dx}}+{\frac {d^{2}(\mathrm {Q} \varphi )}{dx^{2}}}-\ldots \right]\\&+{\frac {d\delta y}{dx}}\left[\mathrm {P} \varphi -{\frac {d(\mathrm {Q} \varphi )}{dx}}+\ldots \right]\\&+{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}}(\mathrm {Q} \varphi -\ldots )\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

$\mathrm {C}$ étant une constante arbitraire.