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LIVRE PREMIER.
est égal au coefficient de
dans le développement de la fraction
Si l’on multiplie le numérateur et le dénominateur de cette fraction par
![{\displaystyle (a-z)\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+\ldots +p\theta +q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d25d6112ae44166cdcc9d38888605660a0132d77)
et si dans le numérateur on substitue au lieu de
sa valeur
on aura
![{\displaystyle {\frac {b\theta ^{n-1}\left(1-{\frac {\theta }{t}}\right)+c\theta ^{n-2}\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{t^{2}}}\right)+e\theta ^{n-3}\left(1-{\frac {\theta ^{3}}{t^{3}}}\right)+\ldots +q\left(1-{\frac {\theta ^{n}}{t^{n}}}\right)}{\left(1-{\frac {\theta }{t}}\right)\left(a\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+\ldots +p\theta +q-z\theta ^{n}\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b7a97c7a23592eb0066a619d3aaf8bc2016992e)
en divisant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par
elle devient
![{\displaystyle {\frac {\left\{{\begin{aligned}&b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+e\theta ^{n-3}+\ldots +q\\+&{\frac {\theta }{t}}\left(c\theta ^{n-2}+e\theta ^{n-3}+\ldots +q\right)\\+&{\frac {\theta ^{2}}{t^{2}}}\left(e\theta ^{n-3}+\ldots +q\right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&{\frac {\theta ^{n-1}}{t^{n-1}}}q\end{aligned}}\right\}}{a\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+\ldots +p\theta +q-z\theta ^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bcbf4e3658c6813edff497c51f4d60098962f51)
La recherche du coefficient de
dans le développement de cette fraction se réduit à déterminer, quel que soit
le coefficient de
dans le développement de la fraction
![{\displaystyle {\frac {1}{a\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+\ldots +p\theta +q-z\theta ^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1709897e4cf303e6496609587d742bc682ea7eeb)
Pour cela, considérons généralement la fraction
et
étant des fonctions rationnelles et entières de
, la première étant d’un ordre inférieur à la seconde. Supposons que
ait un facteur
élevé à la