Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/406

dans le développement de cette fonction sont tous égaux à l’unité ; dans le cas présent, $y_{0,x'}$ pouvant avoir lieu lorsque $x'$ est ou $1,$ ou $2,$ ou $3,$ etc., $i$ doit être égal à l’unité ; la fonction génératrice de $y_{0,x'}$ est donc égale à ${\frac {t'}{1-t'}}\,;$ c’est le coefficient de $t^{0}$ dans le développement de la fonction génératrice de $y_{x,x'}$ ou dans

${\frac {\mathrm {M} }{1-{\frac {1}{2}}t-{\frac {1}{2}}t'}}\,;$

on a donc

${\frac {\mathrm {M} }{1-{\frac {1}{2}}t'}}={\frac {t'}{1-t'}},$

ce qui donne

$\mathrm {M} ={\frac {t'\left(1-{\frac {1}{2}}t'\right)}{(1-t')}},$

par conséquent la fonction génératrice de $y_{x,x'}$ est

${\frac {t'\left(1-{\frac {1}{2}}t'\right)}{(1-t')\left(1-{\frac {1}{2}}t-{\frac {1}{2}}t'\right)}}.$

En la développant par rapport aux puissances de $t,$ on a

${\frac {t'}{1-t'}}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {t}{1-{\frac {1}{2}}t'}}+{\frac {1}{2^{2}}}{\frac {t^{2}}{\left(1-{\frac {1}{2}}t'\right)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}{\frac {t^{3}}{\left(1-{\frac {1}{2}}t'\right)^{3}}}+\ldots \right).$

Le coefficient de $t^{x}$ dans cette série est

${\frac {1}{2^{x}}}{\frac {t'}{(1-t')\left(1-{\frac {1}{2}}t'\right)^{x}}}\,;$

$y_{x,x'}$ est donc le coefficient de $t'^{x'}$ dans cette dernière quantité ; or on a

${\frac {t'}{(1-t')\left(1-{\frac {1}{2}}t'\right)^{x}}}={\frac {\begin{aligned}&t'+{\frac {1}{2}}xt'^{2}+{\frac {1}{2^{2}}}{\frac {x(x+1)}{1.2}}t'^{3}+\ldots \\+&{\frac {1}{2^{x'-1}}}{\frac {x(x+1)(x+2)\ldots (x+x'-2)}{1.2.3\ldots (x'-1)}}t'^{x'}+\ldots \end{aligned}}{1-t'}}$

En réduisant en série le dénominateur de cette dernière fraction et multipliant le numérateur par cette série, on voit que le coefficient de $t'^{x'}$ dans ce produit est ce que devient ce numérateur lorsqu’on y fait $t'=1\,;$