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LIVRE PREMIER.
sente une fonction quelconque linéaire, finie ou infinie, de 
que 
soit ce que devient 
lorsqu’on y change 
dans 
que 
soit ce que devient lorsqu’on y change dans 
et ainsi de suite ; 
étant la fonction génératrice de 
sera la fonction génératrice de 
étant ce que devient lorsqu’on y change dans l’unité, 
dans 
dans 
Cela est encore vrai lorsque 
est un nombre négatif ou même fractionnaire et incommensurable, en faisant toutefois à ce résultat des modifications convenables.
Représentons par 
la caractéristique des intégrales finies, et nommons 
la fonction génératrice de 
étant la fonction génératrice de 
sera, par ce qui précède, la fonction génératrice de 
Mais cette fonction doit, en n’ayant égard qu’aux puissances positives de 
se réduire à 
qui ne renferme que des puissances positives de si l’on n’étend l’intégrale multiple 
qu’aux valeurs positives de 
; on aura donc alors
d’où l’on tire
étant des constantes arbitraires qui répondent aux constantes arbitraires qu’introduisent les intégrations successives de
En faisant abstraction de ces constantes, la fonction génératrice de est 
en sorte que l’on obtient cette fonction génératrice en changeant dans 
dans la fonction génératrice de 
est donc alors égale à 
c’est-à-dire que les différences négatives se changent en intégrales. Mais, si l’on a égard aux constantes arbitraires, il faut, en passant des puissances positives de 
à ses puissances négatives, augmenter de la série 
prolongée jusqu’à ce que le nombre de ses termes soit égal à l’exposant
