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Si l’on substitue cette valeur dans l’équation (1) et si l’on fait

${\begin{aligned}\gamma _{1}^{(i)}=&\gamma ^{(i)}-\lambda ^{(i)}{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}\gamma ^{(i)}}{\mathrm {S} \lambda ^{(i)2}}},\\t_{1}^{(i)}=&t^{(i)}-\lambda ^{(i)}{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}t^{(i)}}{\mathrm {S} \lambda ^{(i)2}}},\\r_{1}^{(i)}=&r^{(i)}-\lambda ^{(i)}{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}r^{(i)}}{\mathrm {S} \lambda ^{(i)2}}},\\q_{1}^{(i)}=&q^{(i)}-\lambda ^{(i)}{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}q^{(i)}}{\mathrm {S} \lambda ^{(i)2}}},\\p_{1}^{(i)}=&p^{(i)}-\lambda ^{(i)}{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}p^{(i)}}{\mathrm {S} \lambda ^{(i)2}}},\\\alpha _{1}^{(i)}=&\alpha ^{(i)}-\lambda ^{(i)}{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}\alpha ^{(i)}}{\mathrm {S} \lambda ^{(i)2}}},\end{aligned}}$

on aura

(2)

$\varepsilon ^{(i)}=p_{1}^{(i)}z+q_{1}^{(i)}z'+r_{1}^{(i)}z''+t_{1}^{(i)}z'''+\gamma _{1}^{(i)}z^{\text{ıv}}-\alpha _{1}^{(i)}\,;$

par ce moyen, l’élément $z^{\mathrm {v} }$ a disparu des équations de condition que représente l’équation (2). En multipliant cette équation par $\gamma _{1}^{(i)}$ et réunissant tous les produits semblables, en observant ensuite que l’on a

$\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=0$

en vertu des équations que donnent les conditions de la méthode la plus avantageuse, on aura

$0=z\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)}p_{1}^{(i)}+z'\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)}q_{1}^{(i)}+z''\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)}r_{1}^{(i)}+z'''\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)}t_{1}^{(i)}+z^{\text{ıv}}\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)2}-\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)}\alpha _{1}^{(i)}\,;$

d’où l’on tire

$z^{\text{ıv}}=-z'''{\frac {\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)}t_{1}^{(i)}}{\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)2}}}-z''{\frac {\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)}r_{1}^{(i)}}{\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)2}}}-z'{\frac {\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)}q_{1}^{(i)}}{\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)2}}}-z{\frac {\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)}p_{1}^{(i)}}{\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)2}}}+{\frac {\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)}\alpha _{1}^{(i)}}{\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)2}}}.$