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LIVRE PREMIER.

ordre inférieur d’une unité à celui qui le précède, ce qui montre la convergence de la série.

On arriverait au même résultat en résolvant, par approximation, l’équation différentielle du second ordre en $\varphi ,$ à laquelle conduit la méthode du n^o 29. Lorsqu’on suppose

$\left(s'^{2}-{\frac {1}{4}}\right)^{-i}=\int c^{-s'x}\varphi dx,$

on a

$2is'\int c^{-s'x}\varphi dx=\left(s'^{2}-{\frac {1}{4}}\right)\int c^{-s'x}x\varphi dx.$

En faisant disparaître $s'$ des coefficients de cette équation, par la méthode citée, dans les termes affectés du signe intégral, égalant ensuite à zéro la somme de ces termes et supposant ensuite, dans l’équation différentielle que l’on obtient ainsi, $\varphi$ égal à une suite ascendante par rapport aux puissances de $x,$ on aura une série convergente. On aura ensuite

$\Delta ^{n}\left(s'^{2}-{\frac {1}{4}}\right)^{-i}=\int c^{-s'x}\left(c^{-x}-1\right)^{n}\varphi dx,$

d’où l’on tirera une valeur en série de $\Delta ^{n}\left(s'^{2}-{\frac {1}{4}}\right)^{-i},$ et dans laquelle il suffira de changer le signe de $i$ pour avoir la valeur de $\Delta ^{n}\left(s'^{2}-{\frac {1}{4}}\right)^{i}.$

Cette manière de résoudre par approximation l’équation différentielle en $\varphi ,$ et que nous avons indiquée à la fin du n^o 30, peut servir dans un grand nombre de cas où cette équation n’est pas intégrale exactement.

Remarque générale sur la convergence des séries.

44. Nous terminerons cette Introduction par une observation importante sur la convergence des séries dont nous avons fait un si fréquent usage. Ces séries convergent très rapidement dans leurs premiers termes ; mais souvent cette convergence diminue et finit par se changer en divergence. Elle ne doit pas empêcher l’usage de ces séries, en n’employant que leurs premiers termes, dans lesquels la conver-