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la probabilité de l’existence simultanée de $l$ et de $l'$ sera, par le n^o 21 du Livre II, proportionnelle à

$c^{-{\frac {k}{2k''\mathrm {E} }}\left(l^{2}\mathrm {S} m_{i}^{2}-2ll'\mathrm {S} m_{i}p_{i}+l'^{2}\mathrm {S} p_{i}^{2}\right)},$

$\mathrm {E}$ étant égal à $\mathrm {S} m_{i}^{2}\mathrm {S} p_{i}^{2}-\left(\mathrm {S} m_{i}p_{i}\right)^{2}.$ Or on a

$l=u\mathrm {S} p_{i}^{2},\qquad l'=u'\mathrm {S} m_{i}p_{i}\,;$

l’existence simultanée de $u$ et de $u'$ est donc proportionnelle à

$c^{-{\frac {k}{2k''}}{\frac {\mathrm {S} p_{i}^{2}}{\mathrm {E} }}\left[u^{2}\mathrm {E} +(u'-u)^{2}\left(\mathrm {S} m_{i}p_{i}\right)^{2}\right]}.$

Soit $e$ la différence des valeurs précédentes de $y$ ; on a

$e={\frac {\mathrm {S} p_{i}a_{i}}{\mathrm {S} p_{i}^{2}}}-{\frac {\mathrm {S} m_{i}a_{i}}{\mathrm {S} m_{i}p_{i}}}\,;$

l’égalité de ces valeurs, corrigées respectivement de leurs erreurs $u$ et $u',$ donne

$e=u-u'\,;$

l’exponentielle précédente devient ainsi

$c^{-{\frac {k}{2k''}}\mathrm {S} p_{i}^{2}\left[u^{2}+e^{2}{\frac {\left(\mathrm {S} m_{i}p_{i}\right)^{2}}{\mathrm {E} }}\right]}.$

$e$ est une quantité donnée par les observations ; la valeur de $u$ qui rend cette exponentielle un maximum est évidemment $u=0\,;$ ainsi la considération du résultat donné par le système de facteurs $m_{1},m_{2},\ldots$ n’ajoute aucune correction au résultat de la méthode la plus avantageuse et ne change point la loi de probabilité de son erreur $u,$ qui reste toujours proportionnelle à

$c^{-{\frac {k}{2k''}}u^{2}\mathrm {S} p_{i}^{2}}.$

Si le très grand nombre des équations de condition ne permet pas de leur appliquer cette méthode, il y aura toujours de l’avantage à l’appliquer à des équations résultantes de groupes de ces équations. Supposons que l’on ait $r$ groupes, formés chacun de $s$ équations, en sorte