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Or on a généralement, en prenant l’intégrale depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini.

$\int x^{i-\omega }dxc^{-ax}={\frac {(1-\omega )(2-\omega )\ldots (i-\omega )}{a^{i}}}\int {\frac {dxc^{-ax}}{x^{\omega }}}.$

En faisant ensuite $ax=t,$ on a

$\int {\frac {dxc^{-ax}}{x^{\omega }}}={\frac {1}{a^{1-\omega }}}\int t^{-\omega }dtc^{-t}={\frac {k'}{a^{1-\omega }}},$

l’intégrale relative à $t$ étant prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini, et $k'$ étant supposé exprimer l’intégrale $\int ^{-\omega }dtc^{-t},$ prise dans ces limites. On aura ainsi

$\int x^{i-\omega }dxc^{-ax}={\frac {(1-\omega )(2-\omega )\ldots (i-\omega )k'}{a^{i+1-\omega }}}\,;$

d’où l’on tire

$\int {\frac {dxc^{-ax}}{x^{\omega }}}(\cos rx-{\sqrt {-1}}\sin rx)={\frac {k'}{a^{1-\omega }}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}1&-{\frac {(1-\omega )(2-\omega )}{1.2}}{\frac {r^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(1-\omega )(2-\omega )(3-\omega )(4-\omega )}{1.2.3.4}}{\frac {r^{4}}{a^{4}}}-\ldots \\&-{\sqrt {-1}}\left[(1-\omega ){\frac {r}{a}}-{\frac {(1-\omega )(2-\omega )(3-\omega )}{1.2.3}}{\frac {r^{3}}{a^{3}}}-\ldots \right]\end{aligned}}\right\}.$

Si l’on fait ${\frac {r}{a}}=s,$ le second membre de cette équation devient

${\frac {k'}{a^{1-\omega }\left(1+s{\sqrt {-1}}\right)^{1-\omega }}}.$

Soit $\mathrm {A}$ un angle dont $s$ soit la tangente ; on aura

$\sin \mathrm {A} ={\frac {s}{\sqrt {1+s^{2}}}},\qquad \cos \mathrm {A} ={\frac {1}{\sqrt {1+s^{2}}}},$

ce qui donne

$\cos \mathrm {A} -{\sqrt {-1}}\sin \mathrm {A} ={\frac {\sqrt {1+s^{2}}}{1+s{\sqrt {-1}}}}\,;$

d’où l’on tire, par le théorème connu,

$\cos(1-\omega )\mathrm {A} -{\sqrt {-1}}\sin(1-\omega )\mathrm {A} ={\frac {(1+s^{2}){\frac {1-\omega }{2}}}{(1+s{\sqrt {-1}})^{1-\omega }}}.$