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infini. La probabilité que les quantités ${\frac {x_{1}}{p_{1}}},{\frac {x_{2}}{p_{2}}},\ldots ,{\frac {x_{r-1}}{p_{r-1}}}$ seront toutes plus grandes que ${\frac {x_{r}}{p_{r}}}$ est donc proportionnelle au produit des $r-1$ facteurs

$1-{\frac {\int dx\varphi (x)}{k}},\quad 1-{\frac {\int dx\varphi (x)}{k}},\quad \ldots \,;$

l’intégrale du premier facteur étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=p_{1}{\frac {x_{r}}{p_{r}}}\,;$ l’intégrale du second facteur étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=p_{2}{\frac {x_{r}}{p_{r}}}\,;$ et ainsi de suite.

Pareillement, toutes les quantités ${\frac {x_{r+1}}{p_{r+1}}},{\frac {x_{r+2}}{p_{r+2}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{p_{n}}}$ étant supposées plus petites que ${\frac {x_{r}}{p_{r}}},$ on voit, par le même raisonnement, que la probabilité de cette supposition est proportionnelle au produit des $n-r$ facteurs

$1+{\frac {\int dx\varphi (x)}{k}},\quad 1+{\frac {\int dx\varphi (x)}{k}},\quad \ldots \,;$

l’intégrale du premier facteur étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=p_{r+1}{\frac {x_{r}}{p_{r}}},$ celle du second facteur étant prise depuis $x=0$ jusqu’às $x=p_{r+2}{\frac {x_{r}}{p_{r}}},$ et ainsi de suite. La probabilité de l’erreur $x_{r}$ est $\varphi (x)\,;$ ainsi la probabilité que l’erreur de la $r$^ième observation sera $x_{r}$ et que la valeur de $y$ donnée par la $r$^ième équation sera plus petite que les valeurs données par les équations précédentes, et surpassera les valeurs données par les équations suivantes, cette probabilité, dis-je, sera proportionnelle au produit des $n-1$ facteurs précédents et de $\varphi (x_{r}).$

$x$ étant supposé très petit, on a, aux quantités près de l’ordre $x^{2},$

$\int dx\varphi (x)=x\varphi (0)+{\frac {1}{2}}x^{2}\varphi '(0),$

$\varphi '(0)$ étant ce que devient ${\frac {d\varphi (x)}{dx}}$ lorsque $x$ est nul. Dans la question présente, $\varphi (x)$ étant une fonction de $x^{2},$ on a $\varphi '(0)=0,$ et alors on a

$\int dx\varphi (x)=x\varphi (0).$