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LIVRE PREMIER.

on aura donc, par la formule précédente, l’intégrale des équations linéaires aux différences finies dont les coefficients sont constants, dans le cas où elles ont un dernier terme fonction de $i$.

L’intégrale définie relative à $r\Sigma \mathrm {X} _{r}\mathrm {Z} _{i-ns-r}^{(s-1)}$ peut être facilement transformée dans une suite d’intégrales indéfinies relatives à $i\,;$ car l’expression générale de $\mathrm {Z} _{i-ns-r}^{(s-1)}$ est formée de $ns$ termes de la forme $\mathrm {I} r^{\mu }\alpha ^{r},\ \mathrm {I}$ étant une fonction de $i$ indépendante de la variable $r\,;$ l’intégrale précédente est donc composée d’intégrales de la forme $\mathrm {I} \Sigma r^{\mu }\alpha ^{r}\,;$ cette dernière intégrale devant être prise depuis $r$ nul jusqu’à $r=i-ns,$ elle est égale à l’intégrale indéfinie

$\mathrm {I} \Sigma (i-ns)^{\mu }\alpha ^{i-ns+1}\mathrm {X} _{i-ns+1},$

prise depuis $i=ns.$

7. On peut donner à l’expression de ${\frac {1}{t^{i}}}$ une infinité d’autres formes dont plusieurs peuvent être utiles. Donnons-lui, par exemple, cette forme

${\frac {1}{t^{i}}}=\mathrm {Z} ^{(0)}+\left({\frac {1}{t}}-1\right)\mathrm {Z} ^{(1)}+\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}\mathrm {Z} ^{(2)}+\ldots +\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-1}\mathrm {Z} ^{(n-1)}.$

On déterminera ainsi les valeurs de $\mathrm {Z^{(0)},Z^{(1)},Z^{(2)}} ,\ldots .$ On mettra d’abord l’équation

$z=a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots +{\frac {q}{t^{n}}}$

sous cette forme, en y substituant $\left({\frac {1}{t}}-1+1\right)^{r}$ au lieu de ${\frac {1}{t^{r}}},$ et développant suivant les puissances de ${\frac {1}{t}}-1,$

$z=a'+b'\left({\frac {1}{t}}-1\right)+c'\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}+\ldots +q'\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n},$

et l’on aura

${\begin{aligned}a'=&a+b+c+\ldots +q,\\b'=&b+2c++3e+\ldots +nq,\\c'=&c++3e+\ldots +{\frac {n(n-1)}{1.2}}q,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$