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Pour avoir l’intégrale précédente, depuis ce maximum jusqu’au point où ${\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }{\sin {\cfrac {1}{2}}\varpi }}$ est nul, ce qui a lieu d’abord lorsque $\varpi ={\frac {2\pi }{2n+1}},$ on fera

$\left({\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }{\sin {\cfrac {1}{2}}\varpi }}\right)^{s}=(2n+1)^{s}c^{-t^{2}}.$

En prenant les logarithmes et réduisant en série, relativement aux puissances de $\varpi ,$ la fonction

$s\log {\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }{\sin {\cfrac {1}{2}}\varpi }},$

on aura

${\frac {n(n+1)}{6}}s\varpi ^{2}+\ldots =t^{2},$

ce qui donne

$d\varpi ={\frac {dt{\sqrt {6}}}{\sqrt {n(n+1)s}}}+\ldots \,;$

l’intégrale précédente devient ainsi

${\frac {(2n+1)^{s}}{\pi }}\int {\frac {dt{\sqrt {6}}}{\sqrt {n(n+1)s}}}c^{-t^{2}}+\ldots .$

Elle doit être prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini ; car à l’origine, ou lorsque $\varpi$ est nul, $t$ est nul, et à la limite, où $\varpi ={\frac {2\pi }{2n+1}},\ t$ est infini ; cette intégrale devient donc, en ne considérant que le premier terme et négligeant les suivants, qui sont par rapport à lui de l’ordre ${\frac {1}{s}},$

${\frac {(2n+1)^{s}{\sqrt {3}}}{\sqrt {n(n+1)2s\pi }}}.$

Le second maximum est négatif, et répond à une valeur de ${\frac {2n+1}{2}}\varpi$ comprise entre ${\frac {5}{4}}\pi$ et ${\frac {3}{2}}\pi .$ En effet, l’équation du maximum

$\operatorname {tang} {\frac {2n+1}{2}}\varpi =(2n+1)\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varpi$