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or $\sum p^{x}$ se réduit à zéro, lorsque $x=1,$ et lorsque $x=n+1,\ y_{x}$ est nul par ce qui précède ; la fonction $(r)$ ou le capital que $\mathrm {C}$ doit payer à l’établissement est donc ${\frac {\sum hy_{x}p^{x}}{y_{0}}},$ ce qui est conforme à ce qui précède. Mais sous la forme de la fonction $(r)$ on peut appliquer au bénéfice de l’établissement l’analyse du n^o 39. En effet, on a dans ce cas, par le numéro cité,

$a\nu +a'\nu '+a''\nu ''+\ldots =-\sum \left({\frac {\triangle y_{x}}{y_{0}}}\sum hp^{x+1}\right)\,;$

ensuite $a,a',\ldots$ étant les valeurs successives de $-{\frac {\triangle y_{x}}{y_{0}}},$ on aura

a\nu^2+

$a'\nu '^{2}+\ldots =\sum \left[-{\frac {\triangle y_{x}}{y_{0}}}\left(\sum hp^{x+1}\right)^{2}\right],$

en sorte que

$2h^{2}=\sum \left[-{\frac {\triangle y_{x}}{y_{0}}}\left(\sum hp^{x+1}\right)^{2}\right]-\left[\sum \left({\frac {\triangle y_{x}}{y_{0}}}\sum hp^{x+1}\right)\right]^{2}.$

En supposant que chacune des $s$ personnes qui constitue la rente $h$ sur sa tête verse à la caisse de l’établissement, outre le capital correspondant à cette rente, une somme $b,$ pour subvenir aux frais de l’établissement, on aura, par le n^o 39,

${\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int dr'c^{-r'^{2}},$

pour la probabilité que le bénéfice réel de l’établissement sera compris dans les limites

$sb\pm 2kr'{\sqrt {s}}.$

Ainsi, dans le cas d’un nombre infini d’affaires, le bénéfice réel de l’établissement devient certain et infini. Mais alors ceux qui traitent avec lui ont un désavantage mathématique qui doit être compensé par un avantage moral, dont l’appréciation va être l’objet du Chapitre suivant.