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THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

trices aux coefficients,

(7)

$\nabla ^{n}y_{x}=\left[a+bc^{\frac {dy_{x}}{dx}}+ec^{\frac {2dy_{x}}{dx}}+hc^{\frac {3dy_{x}}{dx}}+\ldots \right]^{n}.$

On peut ainsi obtenir une infinité de résultats semblables. Nous nous bornerons au suivant, qui nous sera utile dans la suite : $u\left({\frac {1}{\sqrt {i}}}-{\sqrt {i}}\right)^{n}$ est la fonction génératrice de

$y_{x+{\frac {n}{2}}}-ny_{x+{\frac {n}{2}}-1}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}y_{x+{\frac {n}{2}}-2}-\ldots ,$

ou de $\Delta ''y_{x+{\frac {n}{2}}}.$ De plus, on a

$\left({\frac {1}{\sqrt {i}}}-{\sqrt {i}}\right)^{n}=u\left[\left(1+{\frac {1}{t^{dx}}}-1\right)^{\frac {1}{2dx}}-\left(1+{\frac {1}{t^{dx}}}-1\right)^{-{\frac {1}{2dx}}}\right]^{n},$

d’où l’on tire, en repassant par l’analyse précédente des fonctions génératrices aux coefficients

$\Delta ''y_{x-{\frac {n}{2}}}=\left(c^{\frac {dy_{x}}{2dx}}-c^{-{\frac {dy_{x}}{2dx}}}\right)^{n}.$

11. Je n’ai considéré jusqu’ici qu’une seule fonction $y_{x}$ de $x$ ; mais la considération du produit de plusieurs fonctions de la même variable conduit à divers résultats curieux et utiles d’analyse. Soit $u$ une fonction de $t$, et $y_{x}$ le coefficient de $t^{x}$ dans le développement de cette fonction ; soit $u'$ une fonction de $t',$ et $y'_{x}$ le coefficient de $t'^{x}$ dans le développement de cette fonction ; soit encore $u''$ une fonction de $t''$ et $y''_{x}$ le coefficient de $t''^{x}$ dans son développement, et ainsi de suite. Il est clair que $y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots$ sera le coefficient de $t^{x}t'^{x}t''^{x}\ldots$ dans le développement du produit $uu'u''\ldots \,;$ ce produit sera donc la fonction génératrice de $y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots .$ La fonction génératrice de $y_{x+1}y'_{x+1}y''_{x+1}\ldots -y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots ,$ ou de $\Delta y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots$ sera ainsi

$uu'u''\ldots \left({\frac {1}{tt't''}}-1\right),$