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$u{\frac {kz^{\mu }}{t^{'x'+r}}}$ est $k\nabla ^{\mu }y_{0,x'+r},\ \nabla y_{x,x'}$ étant le coefficient de la fonction génératrice $uz,$ coefficient qui est ici égal à $y_{x+1,x'+1}-ay_{x,x'+1}-by_{x+1,x'}-cy_{x,x'}$ Si l’on a $0=\nabla y_{x,x'},$ les coefficients des termes affectés de $z$ disparaîtront, et alors on aura l’expression de $y_{x,x'}$ en fonction de $y_{0,x'},y_{0,x'+1},y_{0,x'+2},\ldots .$ Cette expression sera l’intégrale de l’équation

$(b)\qquad \qquad \qquad 0=y_{x+1,x'+1}-ay_{x,x'+1}-by_{x+1,x'}-cy_{x,x'}.$

Pour avoir cette expression, $z$ peut être considéré comme nul, puisque l’on ne doit avoir égard qu’aux termes indépendants de $z\,;$ l’équation $(a)$ devient ainsi

$0={\frac {1}{tt'}}-{\frac {a}{t'}}-{\frac {b}{t}}-c\,;$

c’est ce que je nomme équation génératrice de l’équation $(b)$ aux différences partielles. En effet on obtient cette dernière équation en multipliant la précédente par $u$ et repassant des fonctions génératrices aux coefficients.

L’expression que l’on obtient par l’analyse précédente pour $y_{x,x'}$ est une suite infinie. On parviendra de cette manière à une expression finie. Reprenons la valeur de

${\frac {u}{t^{x}t^{'x'}}}={\frac {u\left({\frac {1}{t'}}-b+b\right)^{x'}\left[c+ab+a\left({\frac {1}{t}}-b\right)\right]^{x}}{\left({\frac {1}{t'}}-b\right)^{x}}}.$

Si l’on développe le second membre de cette équation par rapport aux puissances de ${\frac {1}{t'}}-b,$ on aura

${\frac {u}{t^{x}t^{'x'}}}=$

${\begin{aligned}&u\left[\left({\frac {1}{t'}}-b\right)^{x'}+x'b\left({\frac {1}{t'}}-b\right)^{x'-1}+{\frac {x'(x'-1)}{1.2}}b^{2}\left({\frac {1}{t'}}-b\right)^{x'-2}+\ldots \right]\\&\times \left[a^{x}+x(c+ab){\frac {a^{x-1}}{{\frac {1}{t'}}-b}}+{\frac {x(x-1)}{1.2}}(c+ab)^{2}{\frac {a^{x-2}}{\left({\frac {1}{t'}}-b\right)^{2}}}+\ldots \right]\end{aligned}}$