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ratrices aux coefficients, on aura

$\delta y_{x}=A^{(0)}y_{x}+A^{(1)}\triangle y_{x}+A^{(2)}\triangle ^{2}y_{x}+\ldots .$

On voit ainsi que la même équation, qui a lieu entre $\mathrm {T}$ et $\mathrm {Z} ,$ a lieu entre leurs caractéristiques $\delta$ et $\triangle ,$ pourvu que, dans le développement de cette équation suivant les puissances de $\delta$ et de $\triangle ,$ on substitue, au lieu d’une puissance quelconque $\delta ^{r},\delta ^{r}y_{x}\,;$ au lieu d’une puissance $\triangle ^{r'},\triangle ^{r'}y_{x}\,;$ au lieu d’un produit tel que $\delta ^{r}\triangle ^{r'},\delta ^{r}\triangle ^{r'}y_{x}\,;$ et que l’on multiplie par $y_{x}$ les termes indépendants de $\delta$ et $\triangle .$ Ainsi, en supposant $\mathrm {T}$ égal à ${\frac {1}{t}}-1,\ \mathrm {Z} ={\frac {1}{t^{i}}}-1,\ \delta y_{x}$ sera la différence finie de $y_{x},\ x$ variant de l’unité ; $\triangle y_{x}$ sera la différence finie de $y_{x},\ x$ variant de $i\,;$ on a ensuite

$\mathrm {Z} =(1+\mathrm {T} )^{i}-1,$

et, par conséquent,

$\mathrm {Z} ^{n}=\left[(1+\mathrm {T} )^{i}-1\right]^{n}\,;$

ce qui donne

$\triangle ^{n}=\left[(1+\delta )^{i}-1\right]^{n},$

pourvu qu’après le développement on place $y_{x}$ après les puissances des caractéristiques. Cette équation aura encore lieu en faisant $n$ négatif, mais alors les différences se changent en intégrales. La considération des fonctions génératrices fait voir ainsi, de la manière la plus naturelle et la plus simple, l’analogie des puissances et des différences. On peut considérer cette théorie comme le calcul des caractéristiques.

Si l’on a $0=\delta y_{x},$ on aura une équation aux différences finies : $\mathrm {UT}$ devient alors un polynôme qui ne renferme que des puissances de $t$ plus petites que la plus haute de $t$ dans $\mathrm {T} .$ Désignons par $\mathrm {Q}$ le polynôme en $t$ le plus général de cette nature ; on aura

$\mathrm {U={\frac {Q}{T}}} .$

Le coefficient de $t^{x}$ dans le développement de $\mathrm {U}$ sera l’intégrale $y_{x}$ de l’équation $0=\delta y_{x}\,;$ par cette raison, je nomme $\mathrm {U}$ fonction génératrice de cette équation.