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On a vu, dans le n^o 36 du Livre I^er, que cette intégrale est

${\frac {(2n+1)^{s}{\sqrt {3}}}{\sqrt {n(n+1)2s\pi }}}c^{-{\frac {{\frac {3}{2}}l^{2}}{n(n+1)s}}}\,;$

le nombre total des combinaisons des erreurs est $(2n+1)^{s}\,;$ en divisant la quantité précédente par celle-ci, on aura

${\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {n(n+1)2s\pi }}}c^{-{\frac {{\frac {3}{2}}l^{2}}{n(n+1)s}}},$

pour la probabilité que la somme des erreurs des $s$ observations sera $l.$

Si l’on fait

$l=2t{\sqrt {\frac {n(n+1)s}{6}}},$

la probabilité que la somme des erreurs sera comprise dans les limites $+2\mathrm {T} {\sqrt {\frac {n(n+1)s}{6}}}$ et $-2\mathrm {T} {\sqrt {\frac {n(n+1)s}{6}}}$ sera égale à

${\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int dtc^{-t^{2}},$

l’intégrale étant prise depuis $t=0$ jusqu’à $t=\mathrm {T} .$ Cette expression a lieu encore dans le cas de $n$ infini. Alors, en nommant $2a$ l’intervalle compris entre les limites des erreurs de chaque observation, on aura $n=a,$ et les limites précédentes deviendront $\pm {\frac {2\mathrm {T} a{\sqrt {s}}}{\sqrt {6}}}\,:$ ainsi la probabilité que la somme des erreurs sera comprise dans les limites $\pm ar{\sqrt {s}}$ est

$2{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\int drc^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}\,;$

c’est aussi la probabilité que l’erreur moyenne sera comprise dans les limites $\pm {\frac {ar}{\sqrt {s}}}\,;$ car on a l’erreur moyenne en divisant par $s$ la somme des erreurs.

La probabilité que la somme des inclinaisons des orbites de $s$ co-