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l’intégrale étant prise depuis $r=0$ jusqu’à $r=i$ par rapport au premier terme, depuis $r=1$ jusqu’à $r=i$ par rapport au second terme, et ainsi de suite. Cette expression de $y_{i,x'}$ sera l’intégrale complète de l’équation $\nabla y_{i,x'}=0,$ ou

${\begin{aligned}0=\mathrm {A} y_{i,x'}+\mathrm {B} y_{i+1,x'}+\mathrm {C} y_{i+2,x'}\quad \ &+\ldots +ly_{i+n,x'}\\+\mathrm {B} 'y_{i,x'+1}+\mathrm {C} 'y_{i+1,x'+1}&+\ldots +\ldots \\+\mathrm {C} ''y_{i,x'+2}\quad &+\ldots +\ldots \\&+\ldots +hy_{i,x'+n}.\end{aligned}}$

Il est visible que $y_{0,x'},y_{1,x'},y_{2,x'},\ldots ,y_{n-1,x'}$ sont les $n$ fonctions arbitraires qu’introduit l’intégration de l’équation $\nabla y_{i,x'}=0.$ Pour les déterminer, il faut connaître immédiatement ou du moins pouvoir conclure des conditions du problème les $n$ premiers rangs verticaux de la table suivante :

(Q)

$\left\{{\begin{array}{lllllllll}y_{0,0},&y_{1,0},&y_{2,0},&y_{3,0},&\ldots &y_{i,0},&y_{i+1,0},&\ldots &y_{\infty ,0},\\y_{0,1},&y_{1,1},&y_{2,1},&y_{3,1},&\ldots &y_{i,1},&y_{i+1,1},&\ldots &y_{\infty ,1},\\y_{0,2},&y_{1,2},&y_{2,2},&y_{3,2},&\ldots &y_{i,2},&y_{i+1,2},&\ldots &y_{\infty ,2},\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\y_{0,x'},&y_{1,x'},&y_{2,x'},&y_{3,x'},&\ldots &y_{i,x'},&y_{i+1,x'},&\ldots &y_{\infty ,x'},\\y_{0,x'+1},&y_{1,x'+1},&y_{2,x'+1},&y_{3,x'+1},&\ldots &y_{i,x'+1},&y_{i+1,x'+1},&\ldots &y_{\infty ,x'+1},\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\y_{0,\infty },&y_{1,\infty },&y_{2,\infty },&y_{3,\infty },&\ldots &y_{i,\infty },&y_{i+1,\infty },&\ldots &y_{\infty ,\infty },\\\end{array}}\right.$

Dans un grand nombre de problèmes, les $n$ premiers rangs verticaux sont donnés par des équations aux différences finies linéaires, et par conséquent par une suite de termes de la forme $\mathrm {A} p^{x'}.$ Supposons que l’expression de $y_{0,x'}$ continue le terme $\mathrm {A} p^{x'}\,;$ la partie correspondante de $y_{i,x'}$ donnée par la formule $(\lambda )$ sera

$\mathrm {A} p^{x'}\left(\mathrm {M} +\mathrm {M} ^{(1)}p+\mathrm {M} ^{(2)}p^{2}+\ldots +\mathrm {M} ^{(i)}p^{i}\right)\,;$

mais la fonction

$\mathrm {M} +{\frac {\mathrm {M} ^{(1)}}{t'}}+{\frac {\mathrm {M} ^{(2)}}{t'^{2}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {M} ^{(i)}}{t'^{i}}}$

est le développement de

$b\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+c\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}+\ldots ,$