rieures à 
qui résulteront des développements des binômes, et si, dans ce qui reste, on fait 
on aura l’expression de 
Examinons encore le cas où le joueur 
serait certain d’extraire à chaque coup une boule qui compterait à ce joueur un point, c’est à-dire où l’on aurait
et conséquemment
La fonction génératrice de 
ou la fonction 
se réduirait alors à
et celle de 
serait, par suite,
Dans cette dernière expression, le premier terme représente la fonction génératrice de 
qui est égal à l’unité quel que soit 
et le second donnera, en le développant par rapport aux puissances de 
et de 
toutes les autres valeurs de 
or, le coefficient de 
sera
![{\displaystyle {\frac {t'\left[q'+(p'+p'_{1}t')t'\right]^{x-1}}{1-t'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b08d706c2ab8618853b031ac5d3335b6877a604f)
d’où il résulte que, si l’on rejette du développement de la série
![{\displaystyle q'^{x-1}\left[t'+{\frac {(x-1)}{1}}\left({\frac {p'+p'_{1}t'}{q'}}\right)t'^{2}+{\frac {(x-1)(x-2)}{1.2}}\left({\frac {p'+p'_{1}t'}{q'}}\right)^{2}t'^{3}+\ldots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b90fb5d9aad74f43650f72829b1b6ad2520510)
toutes les puissances de supérieures à 
et si l’on fait dans ce qui reste 
on aura, en supposant 
pair et égal à 
le coeffi-
