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l’analyse du numéro cité, on déterminera d’abord $a$ par l’équation

$0={\frac {i+1}{a}}-s-{\frac {nc^{a}}{c^{n}-1}},$

ce qui donne

$a={\frac {i+1}{n+s}}\left\{{\frac {1-c^{-a}}{1-{\cfrac {sc^{-a}}{n+s}}}}\right\}.$

On a ensuite, par le n^o 40 du Livre I^er, lorsque $c^{-a}$ est une quantité très petite de l’ordre ${\frac {1}{i}},$ comme cela a lieu dans la question présente, on a, dis-je, aux quantités près de l’ordre ${\frac {1}{i^{2}}},\ s$ étant supposé nul dans le résultat du calcul,

${\frac {\Delta ^{n}s^{i}}{n^{i}}}={\frac {\left({\cfrac {i}{i+1}}\right)^{i+{\frac {1}{2}}}c^{na-i}\left(1-c^{-a}\right)^{n-i}}{\sqrt {1-{\cfrac {i+1}{n}}c^{-a}}}}.$

Or on a, aux quantités près de l’ordre ${\frac {1}{i^{2}}},$

$\left({\frac {i}{i+1}}\right)^{i+{\frac {1}{2}}}=c^{-1}\,;$

en supposant ensuite $c^{-a}=z,$ on a

$\left(1-c^{-a}\right)^{n-i}=c^{(i-n)z}\left(1+{\frac {i-n}{2}}z^{2}\right)\,;$

de plus, l’équation qui détermine $a$ donne

$i+1-na=(i+1)z,$

d’où l’on tire

$c^{na-i-1}=c^{-iz}(1-z)\,;$

on aura donc, aux quantités près de l’ordre ${\frac {1}{i^{2}}},$

${\frac {\Delta ^{n}s^{i}}{n^{i}}}=c^{-nz}\left(1+{\frac {i-2n+1}{2n}}z+{\frac {i-n}{2}}z^{2}\right).$