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la probabilité de $s$ est donc proportionnelle à

$c^{-{\frac {9ns^{2}}{4\theta ^{2}\left[\mathrm {S} \left(p^{2}-pq+q^{2}\right)+{\frac {3}{2}}\mathrm {S} \left(pi+qi_{1}\right)^{2}\right]}}}.$

Il est clair que les valeurs de $i$ et de $i_{1}$ qui rendent cette probabilité le plus rapidement décroissante sont celles qui donnent $pi+qi_{1}=0\,;$ et alors la correction précédente de l’arc mesuré devient nulle. Le cas de $i$ et $i_{1}$ nuls donne donc la loi de probabilité des erreurs géodésiques, le plus rapidement décroissante, loi qui doit être évidemment adoptée.

De là, il est facile de conclure que la probabilité que la valeur de $s$ sera comprise dans les limites $\pm s$ est égale à

${\frac {2\int dtc^{-t^{2}}}{\sqrt {\pi }}},$

l’intégrale étant prise depuis $t$ nul jusqu’à

$t={\frac {3s}{2\theta }}{\sqrt {\frac {n}{\mathrm {S} \left(p^{2}-pq+q^{2}\right)}}},$

ce qui est conforme à ce que nous avons déduit dans le n^o 1 de la loi particulière de probabilité des erreurs $\alpha$ proportionnelle à $c^{-h\alpha ^{2}}.$

Exprimons, comme dans le n^o 2, l’erreur d’une nouvelle base conclue de la première par la fonction

$l{\overline {\alpha }}+m{\overline {\text{ϐ}}}+l^{(1)}{\overline {\alpha }}^{(1)}+m^{(1)}{\overline {\text{ϐ}}}^{(1)}+\ldots .$

En faisant, comme précédemment,

${\underline {\alpha }}={\overline {\alpha }}-iT,\quad {\underline {\text{ϐ}}}={\overline {\text{ϐ}}}-i_{1}T,\quad {\underline {\alpha }}^{(1)}={\overline {\alpha }}^{(1)}-i^{(1)}T^{(1)},\quad \ldots ,$

la correction de cette fonction, relative aux valeurs de $i,i_{1},i^{(1)},\ldots$ sera $-\mathrm {S} (li+mi_{1})\mathrm {T} ,$ et l’erreur de la nouvelle base ainsi corrigée sera

$(\lambda )\qquad \qquad \qquad l{\underline {\alpha }}+m{\underline {\text{ϐ}}}+l^{(1)}{\underline {\alpha }}^{(1)}+m^{(1)}{\underline {\text{ϐ}}}^{(1)}+\ldots .$

Soit $s'$ la valeur de cette fonction ; la probabilité de l’existence simul-