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On a ensuite les deux équations

{\begin{aligned}x^{(2)}-x^{(1)}=&p^{(2)}+\gamma ^{(2)},\\x^{(2)}-x^{(0)}=&q^{(2)}+\lambda ^{(2)}\,;\end{aligned}}

ce qui donne

x^{(2)}={\frac {1}{2}}x^{(1)}+{\frac {1}{2}}x^{(0)}+{\frac {1}{2}}\left(p^{(2)}+q^{(2)}\right)+{\frac {1}{2}}\gamma ^{(2)}+{\frac {1}{2}}\lambda ^{(2)}.

On a les deux équations

{\begin{aligned}x^{(3)}-x^{(2)}=&p^{(3)}+\gamma ^{(3)},\\x^{(3)}-x^{(1)}=&q^{(3)}+\lambda ^{(3)}\,;\end{aligned}}

ce qui donne

x^{(3)}={\frac {1}{2}}x^{(2)}+{\frac {1}{2}}x^{(1)}+{\frac {1}{2}}\left(p^{(3)}+q^{(3)}\right)+{\frac {1}{2}}\gamma ^{(3)}+{\frac {1}{2}}\lambda ^{(3)}.

En continuant ainsi, on aura $x^{(n+1)}.$ Les quantités $\gamma ^{(m)}$ et $\lambda ^{(m)}$ ne commencent à être introduites dans cette expression que par les deux valeurs de $x^{(m)}-x^{(m-1)}$ et de $x^{(m)}-x^{(m-2)}.$ Désignons par $k^{(r)}$ le coefficient de $\gamma ^{(m)}$ dans l’expression de $x^{(m+r)}\,;$ cette expression est

x^{(m+r)}=

{\frac {1}{2}}x^{(m+r-1)}+{\frac {1}{2}}x^{(m+r-2)}+{\frac {1}{2}}\left(p^{(m+r)}+q^{(m+r)}\right)+{\frac {1}{2}}\gamma ^{(m+r)}+{\frac {1}{2}}\lambda ^{(m+r)}\,;

en substituant pour $x^{(m+r)},x^{(m+r-1)},x^{(m+r-2)}$ les parties de leurs valeurs relatives à $\gamma ^{(m)},$ la comparaison des coefficients de cette quantité donnera

k^{(r)}={\frac {1}{2}}k^{(r-1)}+{\frac {1}{2}}k^{(r-2)}\,;

d’où l’on tire, en intégrant,

k^{(r)}=\mathrm {A+A'} \left(-{\frac {1}{2}}\right)^{r-1},

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '$ étant deux arbitraires. Pour les déterminer, nous observerons que, $r$ étant nul, on a $k^{(0)}={\frac {1}{2}},$ et que, $r$ étant $1,$ on a

k^{(1)}={\frac {1}{2}}k^{(0)}={\frac {1}{4}}\,;

de là on tire

\mathrm {A} ={\frac {1}{3}},\qquad \mathrm {A} '=-{\frac {1}{12}}\,;

ainsi, dans la valeur de $x^{(n+1)},$ où $r=n+1-m,$ on aura, pour le coefficient $k^{(n+1-m)}$ de $\gamma ^{(m)},$

k^{(n+1-m)}={\frac {1}{3}}-{\frac {1}{12}}\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{n-m}\,;