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les puissances des quantités négatives étant ici exclues, comme elles le sont dans la formule précédente ; en faisant donc $r{\sqrt {i}}={\frac {4i.1^{\circ }{,}73677}{200^{\circ }}}\,;$

la formule $(p)$ devient

$2{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\int drc^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}-{\frac {3}{10i}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}r\left(1-r^{2}\right)c^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}$

l’intégrale étant prise depuis $r$ nul. On trouve ainsi $0{,}474$ pour la probabilité que l’inclinaison des $100$ orbites doit tomber dans les limites $50^{\circ }\pm 1^{\circ }{,}17377\,;$ la probabilité que l’inclinaison moyenne doit être inférieure à l’inclinaison observée est donc $0{,}737.$ Cette probabilité n’est pas assez grande pour que le résultat observé fasse rejeter l’hypothèse d’une égale facilité des inclinaisons des orbites, et pour indiquer l’existence d’une cause primitive qui a influé sur ces inclinaisons, cause que l’on ne peut s’empêcher d’admettre dans les inclinaisons des orbes du système planétaire.

La même chose a lieu par rapport au sens du mouvement. La probabilité que, sur $100$ comètes, $47$ au plus seront rétrogrades, est la somme des $48$ premiers termes du binôme $(p+q)^{100}.$ en faisant dans le résultat du calcul $p=q={\frac {1}{2}}.$ Mais la somme des $50$ premiers termes, plus la moitié du 51^e ou du terme moyen, est la moitié du binôme entier, ou de $\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)^{100},$ c’est-à-dire ${\frac {1}{2}}\,;$ la probabilité cherchée est donc

${\frac {1}{2}}-{\frac {100.99\ldots 51}{1.2.3\ldots 50.2^{100}}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {50}{51}}+{\frac {50.49}{51.52}}\right)$ ou $={\frac {1}{2}}-{\frac {1.2.3\ldots 100.1594}{(1.2.3\ldots 50)^{2}.2^{100}.663}}.$

En vertu du théorème

$1.2.3\ldots s=s^{s+{\frac {1}{2}}}c^{-s}\left(1+{\frac {1}{12s}}+\ldots \right){\sqrt {2\pi }},$

on a, à très peu près,

${\begin{aligned}1.2.3\ldots 100=&(100)^{100+{\frac {1}{2}}}c^{-100}\left(1+{\frac {1}{1200}}\right){\sqrt {2\pi }},\\2^{100}(1.2.3\ldots 50)^{2}=&100^{100+1}c^{-100}\left(1+{\frac {1}{300}}\right)\pi .\end{aligned}}$