Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/700

avantageuse $\mathrm {S} p^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=0,\ \mathrm {S} q^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=0,\ldots ,$ les six équations suivantes :

(A)

$\left\{{\begin{aligned}{\overline {p\alpha }}=&p^{(2)}z+{\overline {pq}}\ \ z'+{\overline {pr}}\ \ z''+{\overline {pt}}\ \ z'''+{\overline {p\gamma }}\ \ z^{\text{ıv}}+{\overline {p\lambda }}\ \ z^{\mathrm {v} },\\{\overline {q\alpha }}=&{\overline {pq}}\ \ z+q^{(2)}z'+{\overline {qr}}\ \ z''+{\overline {qt}}\ \ \,z'''+{\overline {q\gamma }}\ \ z^{\text{ıv}}+{\overline {q\lambda }}\ \ z^{\mathrm {v} },\\{\overline {r\alpha }}=&{\overline {rp}}\ \ z+{\overline {rq}}\,\ \ z'+r^{(2)}z''+{\overline {rt}}\ \ z'''+{\overline {r\gamma }}\ \ z^{\text{ıv}}+{\overline {r\lambda }}\ \ z^{\mathrm {v} },\\{\overline {t\alpha }}=&{\overline {tp}}\,\ \ z+{\overline {tq}}\ \ \ z'+{\overline {tr}}\ \ z''+t^{(2)}\,z'''+{\overline {t\gamma }}\ \ \,z^{\text{ıv}}+{\overline {t\lambda }}\ \ z^{\mathrm {v} },\\{\overline {\gamma \alpha }}=&{\overline {\gamma p}}\ \ z+{\overline {\gamma q}}\,\ z'+{\overline {\gamma r}}\ \ z''+{\overline {\gamma t}}\ \ z'''+\gamma ^{(2)}z^{\text{ıv}}+{\overline {\gamma \lambda }}\ \ z^{\mathrm {v} },\\{\overline {\lambda \alpha }}=&{\overline {\lambda p}}\ \ z+{\overline {\lambda q}}\,\ z'+{\overline {\lambda r}}\ \,z''+{\overline {\lambda t}}\ \,z'''+{\overline {\lambda \gamma }}\ \ z^{\text{ıv}}+\lambda ^{(2)}z^{\mathrm {v} },\end{aligned}}\right.$

où l’on doit observer que nous supposons

$p^{(2)}=\mathrm {S} p^{(i)2},\quad {\overline {pq}}=\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)},\quad q^{(2)}=\mathrm {S} q^{(i)2},\quad {\overline {qr}}=\mathrm {S} q^{(i)}r^{(i)},\quad \ldots .$

Si l’on multiplie pareillement les équations de condition représentées par l’équation (2) respectivement par les coefficients de $z$ et que l’on ajoute ces produits, ensuite par les coefficients de $z'$ en ajoutant encore ces produits, et ainsi de suite, on aura le système suivant d’équations, en observant que $\mathrm {S} p_{1}^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=0,\ \mathrm {S} q_{1}^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=0,\ldots ,$ par les conditions de la méthode la plus avantageuse,

(B)

$\left\{{\begin{aligned}{\overline {p_{1}\alpha _{1}}}=&p_{1}^{(2)}\ \,z+{\overline {p_{1}q_{1}}}z'+{\overline {p_{1}r_{1}}}z''+{\overline {p_{1}t_{1}}}z'''+{\overline {p_{1}\gamma _{1}}}z^{\text{ıv}},\\{\overline {q_{1}\alpha _{1}}}=&{\overline {p_{1}q_{1}}}z+q_{1}^{(2)}\ \,z'+{\overline {q_{1}r_{1}}}z''+{\overline {q_{1}t_{1}}}z'''+{\overline {q_{1}\gamma _{1}}}z^{\text{ıv}},\\{\overline {r_{1}\alpha _{1}}}=&{\overline {p_{1}r_{1}}}z+{\overline {q_{1}r_{1}}}z'+r_{1}^{(2)}\ \,z''+{\overline {r_{1}t_{1}}}z'''+{\overline {r_{1}\gamma _{1}}}z^{\text{ıv}},\\{\overline {t_{1}\alpha _{1}}}=&{\overline {p_{1}t_{1}}}\,z+{\overline {q_{1}t_{1}}}\,z'+{\overline {r_{1}t_{1}}}z''+t_{1}^{(2)}\ z'''+{\overline {t_{1}\gamma _{1}}}z^{\text{ıv}},\\{\overline {\gamma _{1}\alpha _{1}}}=&{\overline {p_{1}\gamma _{1}}}z+{\overline {q_{1}\gamma _{1}}}z'+{\overline {r_{1}\gamma _{1}}}z''+{\overline {t_{1}\gamma _{1}}}z'''+\gamma _{1}^{(2)}z^{\text{ıv}},\end{aligned}}\right.$

où l’on doit observer que

${\overline {p_{1}q_{1}}}=\mathrm {S} p_{1}^{(i)}q_{1}^{(i)},\qquad p_{1}^{(2)}=\mathrm {S} p_{1}^{(i)2},\qquad \ldots .$

En substituant, au lieu de $p_{1}^{(i)},q_{1}^{(i)},\ldots ,$ leurs valeurs précédentes, on a

${\overline {p_{1}q_{1}}}=\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}-{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}p^{(i)}\mathrm {S} \lambda ^{(i)}q^{(i)}}{\mathrm {S} \lambda ^{(i)2}}}$

ou

${\overline {p_{1}q_{1}}}={\overline {pq}}-{\frac {{\overline {\lambda p}}{\overline {\lambda q}}}{\lambda ^{(2)}}}\,;$