Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/496

croix ou pile, et mettant dans l’urne $\mathrm {A}$ une boule blanche chaque fois que croix arriverait, et une boule noire chaque fois que pile arriverait, et faisant l’inverse pour l’urne $\mathrm {B} .$ Car il est visible que la probabilité de tirer une boule blanche de l’urne $\mathrm {C}$ est alors ${\frac {1}{2}},$ comme celle d’amener croix ou pile.

En prenant l’intégrale $\int \mathrm {U} dx$ ou ${\frac {1}{2}}\int \mathrm {U} d\mu {\sqrt {n}}$ depuis $\mu =-a$ jusqu’à $\mu =a,$ on aura la probabilité que le nombre des boules blanches de l’urne $\mathrm {A}$ sera compris dans les limites $\pm a{\sqrt {n}}.$

On peut généraliser le résultat précédent, en supposant l’urne $\mathrm {A}$ remplie, comme au commencement de ce numéro, par la projection d’un prisme de $p+q$ faces latérales, dont $p$ sont blanches et $q$ sont noires. On a vu qu’alors, si l’on fait

$i^{2}={\frac {(p+q)^{2}}{2pq}},$

on a, à l’origine ou lorsque $r$ est nul,

$\mathrm {U} ={\frac {i}{\sqrt {n\pi }}}c^{-{\frac {i^{2}}{n}}\left(x-{\frac {np}{p+q}}\right)^{2}}.$

Supposons $p$ et $q$ très peu différents, en sorte que l’on ait

${\begin{aligned}p=&{\frac {p+q}{2}}\left(1+{\frac {a}{\sqrt {n}}}\right),\\q=&{\frac {p+q}{2}}\left(1-{\frac {a}{\sqrt {n}}}\right),\end{aligned}}$

on aura

$i^{2}={\frac {2}{1-{\cfrac {a^{2}}{n}}}}$

ou, à très peu près, $i^{2}=2\,;$ donc

$\mathrm {U} ={\frac {2}{\sqrt {2n\pi }}}c^{-{\frac {2}{n}}\left(x-{\frac {n}{2}}-{\frac {a{\sqrt {n}}}{2}}\right)^{2}}.$

En faisant donc

$x={\frac {n+\mu {\sqrt {n}}}{2}},$