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LIVRE PREMIER.

Si l’on fait

$t=ax-{\frac {r{\sqrt {-1}}}{2a}},$

elle devient

${\frac {c^{-{\frac {r^{2}}{4a^{2}}}}}{a}}\int dtc^{-t^{2}}\,;$

ici l’intégrale relative à $t$ doit être prise depuis $t=-{\frac {r{\sqrt {-1}}}{2a}}$ jusqu’à $t$ infini, parce que ces deux limites répondent à $x$ nul et à $x$ infini.

En faisant $r$ négatif dans cette formule, on aura l’expression de l’intégrale $\int dxc^{-a^{2}x^{2}-rx{\sqrt {-1}}}\,;$ mais, dans ce cas, les limites de l’intégrale relative à $t$ sont $t={\frac {r{\sqrt {-1}}}{2a}}$ et $t$ infini ; la réunion de ces deux intégrales est donc égale à

${\frac {c^{-{\frac {r^{2}}{4a^{2}}}}}{a}}\int dtc^{-t^{2}},$

l’intégrale étant prise depuis $t=-\infty$ jusqu’à $t=\infty \,;$ car la première intégrale ajoute à la seconde ce qui lui manque pour former la moitié de l’intégrale prise entre les deux limites infinies ; or cette dernière intégrale est ${\frac {c^{-{\frac {r^{2}}{4a^{2}}}}{\sqrt {\pi }}}{a}}\,;$ on a donc

$\int dx\cos rx.c^{-a^{2}x^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}c^{-{\frac {r^{2}}{4a^{2}}}}.$

L’analyse qui vient de nous conduire à ce résultat est fondée sur le passage du réel à l’imaginaire ; car on y traite les intégrales relatives à $t$ et prises entre deux limites, dont une est imaginaire et l’autre est infinie, comme si ces limites étaient toutes réelles. Mais on peut parvenir à ce résultat de la manière suivante.

Nommons $y$ l’intégrale $\int dx\cos rx.c^{-a^{2}x^{2}},$ prise depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini ; on aura

${\frac {dy}{dr}}=-\int xdx\sin rx.c^{-a^{2}x^{2}}$

$={\frac {1}{2a^{2}}}\sin rx.c^{-a^{2}x^{2}}-{\frac {r}{2a^{2}}}\int dx\cos rx.c^{-a^{2}x^{2}}\,;$