Supposons dans une urne a boules blanches et b boules noires, et qu’après en avoir extrait une boule on la remette dans l’urne : on demande la probabilité que, dans le nombre n de tirages, on amènera m boules blanches et boules noires. Il est clair que le nombre de cas qui peuvent arriver à chaque tirage est Chaque cas du second tirage pouvant se combiner avec tous les cas du premier, le nombre de cas possibles en deux tirages est le carré du binôme Dans le développement de ce carré, le carré de «exprime le nombre des cas dans lesquels on amène deux fois une boule blanche ; le double produit de a par b exprime le nombre des cas dans lesquels une boule blanche et une boule noire sont amenées ; enfin le carré de b exprime le nombre des cas dans lesquels on amène deux boules noires. En continuant ainsi, on voit généralement que la puissance n du binôme exprime le nombre de tous les cas possibles dans n tirages, et que, dans le développement de cette puissance, le terme multiplié par la puissance m de a exprime le nombre des cas dans lesquels on peut amener m boules blanches et boules noires. En divisant donc ce terme par la puissance entière du binôme, on aura la probabilité d’amener m boules blanches et boules noires. Le rapport des nombres a et étant la probabilité d’amener une boule blanche dans un tirage, et le rapport des nombres b et étant la probabilité d’amener une boule noire, si l’on nomme p et q ces probabilités, la probabilité d’amener m boules blanches dans n tirages sera le terme multiplié par la puissance m de p dans le développement de la puissance n du binôme : on peut observer que la somme est l’unité. Cette propriété remarquable du binôme est très utile dans la théorie des probabilités.
Mais la méthode la plus générale et la plus directe pour résoudre les questions de probabilité consiste à les faire dépendre d’équations aux différences. En comparant les états successifs de la fonction qui exprime la probabilité, lorsque l’on fait croître les variables de leurs différences respectives, la question proposée fournit souvent un rapport très simple entre ces états. Ce rapport est ce que l’on nomme équation aux diffé-
