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$95767$ tirages, et un peu plus d’un contre un à parier qu’ils sortiront dans $95768$ tirages.

On déterminera par une analyse semblable le nombre des tirages dans lesquels on peut parier un contre un que tous les numéros de la loterie de France sortiront. Cette loterie est, comme on sait, composée de $90$ numéros dont cinq sortent à chaque tirage. La probabilité que tous les numéros sortiront dans $i$ tirages est alors, par ce qui précède,

${\frac {\Delta ^{n}\left[s'(s'-1)(s'-2)(s'-3)(s'-4)\right]^{i}}{\left[n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)\right]^{i}}},$

$n$ étant ici égal à $90,$ et $s'$ devant être supposé nul dans le résultat du calcul. Si l’on fait $s=s'-2,$ cette fonction devient

${\frac {\Delta ^{n}\left[s\left(s^{2}-1\right)\left(s^{2}-4\right)\right]^{i}}{\left\{\left[(n-2)^{2}-1\right]\left[(n-2)^{2}-4\right]\right\}^{i}}},$

ou, en développant en série,

${\frac {\left(\Delta ^{n}s^{5i}-5i\Delta ^{n}s^{5i-2}+\ldots \right)}{(n-2)^{5i}}}\left[1+{\frac {5i}{(n-2)^{2}}}+\ldots \right],$

$s$ devant être supposé égal à $-2$ dans le résultat du calcul.

On a, par le n^o 40 du Livre I^er, en négligeant les termes de l’ordre ${\frac {1}{t^{2}}}$ et supposant $c^{-a}$ très petit de l’ordre ${\frac {1}{i}},$

${\frac {\Delta ^{n}s^{5i}}{(n-2)^{5i}}}={\frac {\left({\cfrac {5i+1}{a}}\right)^{5i}\left({\cfrac {5i}{5i+1}}\right)^{5i}c^{(n-2)a-5i}\left(1-c^{-a}\right)^{n}}{(n-2)^{5i}{\sqrt {1+{\cfrac {1}{5i}}-{\cfrac {na^{2}c^{-a}}{5i\left(1-c^{-a}\right)^{2}}}}}}},$

$a$ étant donné par l’équation

$a={\frac {(5i+1)\left(1-c^{-a}\right)}{(n-2)\left(1+{\frac {c^{-a}}{n-2}}\right)}}.$

On a ainsi, en négligeant les termes de l’ordre ${\frac {1}{i^{2}}},$

${\frac {\Delta ^{n}s^{5i}}{(n-2)^{5i}}}={\frac {\left(1+{\cfrac {c^{-a}}{n-2}}\right)^{5i}}{\left(1-c^{-a}\right)^{5i}}}\left(1-c^{-a}\right)^{n}c^{1-(5i+1)c^{-a}-{\frac {10ic-a}{n-2}}}$

$\times \left({\frac {5i}{5i+1}}\right)^{5i}\left(1-{\frac {1}{10i}}+{\frac {na^{2}c^{-a}}{10i}}\right)\,;$