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$t$ étant supposé l’unité après les différentiations, ce qui donne

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&q(1-q)\left[q^{i-1}+(1-q)^{i-1}-q^{i-1}(1-q)^{i-1}\right],\\{\frac {d\mathrm {T} }{dt}}=&(i+1)q(1-q)\left[q^{i-1}+(1-Yq)^{i-1}\right]-2iq^{i}(1-q)^{i}-1,\\\mathrm {T} '=&(1-q)q^{i}\left[1-(1-q)^{i}\right],\\{\frac {d\mathrm {T} '}{dt}}=&i(1-q)q^{i}\left[1-2(1-q)^{i}\right]-qq^{i}\left[1-(1-q)^{i}\right].\end{aligned}}$

On aura $\mathrm {T} ''$ et ${\frac {dT''}{dt}}$ en changeant, dans ces deux dernières expressions, $q$ dans $1-q.$

13. Une urne étant supposée contenir $n+1$ boules, distinguées par les n^os $0,1,2,3,\ldots n,$ on en tire une boule que l’on remet dans l’urne après le tirage. On demande la probabilité qu’après $i$ tirages la somme des nombres amenés sera égale à $s.$

Soient $t_{1},t_{2},t_{3},\ldots ,t_{i}$ les nombres amenés au premier tirage, au second, au troisième, … ; on doit avoir

(1)

$t_{1}+t_{2}+t_{3}+\ldots +t_{i}=s.$

$t_{2},t_{3},\ldots ,t_{i}$ étant supposés ne pas varier, cette équation n’est susceptible que d’une combinaison. Mais, si l’on fait varier à la fois $t_{1}$ et $t_{2},$ et si l’on suppose que ces variables puissent s’étendre indéfiniment depuis zéro, alors le nombre des combinaisons qui donnent l’équation précédente sera

$s+1-t_{3}-t_{4}-\ldots -t_{i}\,;$

car $t_{1}$ peut s’étendre depuis zéro, ce qui donne

$t_{2}=s-t_{3}-t_{4}-\ldots -t_{i},$

jusqu’à $s-t_{3}-t_{4}-\ldots -t_{i},$ ce qui donne $t_{2}=0,$ les valeurs négatives des variables $t_{1},t_{2}$ devant être exclues.

Maintenant, le nombre $s+1-t_{3}-t_{4}-\ldots -t_{i}$ est susceptible de plusieurs valeurs, en vertu des variations de $t_{3},t_{4},\ldots .$ Supposons