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LIVRE PREMIER.

d’une intégrale définie. L’intégration de l’équation (1) aux différences finies est donc ainsi ramenée à l’intégration de l’équation (2) aux différences infiniment petites et à une intégrale définie.

Considérons présentement l’équation (3) et faisons d’abord $\mathrm {S} =0.$ Si l’on suppose que $\delta y,{\frac {d\delta y}{dx}},{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}},\ldots$ deviennent nuls au moyen d’une même valeur de $x,$ que nous désignerons par $h$, et qui soit indépendante de $s,$ il est clair qu’en supposant $\mathrm {C}$ nul, cette valeur satisfera à l’équation (3), et qu’ainsi elle sera une des limites entre lesquelles on doit prendre l’intégrale $\int \delta y\varphi dx.$ La supposition précédente a lieu visiblement dans les deux cas de $\delta y=x^{s}$ et de $\delta y=c^{-sx}\,;$ dans le premier cas, l’équation $x=0,$ et dans le second cas, l’équation $x=\infty$ rendent nulles les quantités $\delta y,{\frac {d\delta y}{dx}},{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}},\ldots .$ Pour avoir d’autres limites de l’intégrale $\int \delta y\varphi dx,$ on observera que, ces limites devant être indépendantes de $s,$ il faut, dans l’équation (3), égaler séparément à zéro les coefficients de $\delta y,{\frac {d\delta y}{dx}},\ldots ,$ ce qui donne les équations suivantes :

${\begin{aligned}0=&\mathrm {N} \varphi -{\frac {d(\mathrm {P} \varphi )}{dx}}+{\frac {d^{2}(\mathrm {Q} \varphi )}{dx^{2}}}-\ldots ,\\0=&\mathrm {P} \varphi -{\frac {d(\mathrm {Q} \varphi )}{dx}}+\ldots ,\\0=&\mathrm {Q} \varphi -\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ces équations sont au nombre de $i,$ si $i$ est l’ordre de l’équation différentielle (2) ; on pourra donc éliminer, à leur moyen, toutes les constantes arbitraires de la valeur de $\varphi ,$ moins une, et l’on aura une équation finale en $x,$ dont les racines seront autant de limites de l’intégrale $\int \delta y\varphi dx.$ On cherchera par cette équation un nombre de valeurs différentes de $x$, égal au degré de l’équation différentielle (1). Soient $q,q^{(1)},q^{(2)},\ldots$ ces valeurs ; elles donneront autant de valeurs différentes de $\varphi ,$ puisque les constantes arbitraires de $\varphi ,$ moins une, sont déterminées en fonctions de ces valeurs. On pourra ainsi représenter