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LIVRE PREMIER.

Soit

${\begin{aligned}\mathrm {V} \quad =&a^{x},\\\mathrm {V} ^{(1)}=&x'ba^{x}+x(c+ab)a^{x-1},\\\mathrm {V} ^{(2)}=&{\frac {x'(x'-1)}{1.2}}b^{2}a^{x}+x'xb(c+ab)a^{x-1}+{\frac {x(x-1)}{1.2}}(c+ab)^{2}{\frac {a^{x-2}}{,}}\\\mathrm {V} ^{(3)}=&{\frac {x'(x'-1)(x'-2)}{1.2.3}}b^{3}a^{x}+{\frac {x'(x'-1)}{1.2}}xb^{2}(c+ab)a^{x-1}\\&\qquad \qquad +x'{\frac {x(x-1)}{1.2}}b(c+ab)^{2}a^{x-2}\\&\qquad \qquad +{\frac {x(x-1)(x-2)}{1.2.3}}(c+ab)a^{x-3}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

on aura

${\frac {u}{t^{x}t^{'x'}}}=u\left\{{\begin{aligned}\mathrm {V} &\left({\frac {1}{t'}}-b\right)^{x'}+\mathrm {V} {(1)}\left({\frac {1}{t'}}-b\right)^{x'-1}+\mathrm {V} {(2)}\left({\frac {1}{t'}}-b\right)^{x'-2}+\\&\ldots +\mathrm {V} ^{(x')}+{\frac {\mathrm {V} ^{(x'+1)}}{{\frac {1}{t'}}-b}}+{\frac {\mathrm {V} ^{(x'+2)}}{\left({\frac {1}{t'}}-b\right)^{2}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {V} ^{(x'+x)}}{({\frac {1}{t'}}-b)^{x}}}\end{aligned}}\right\}.$

Or l’équation

${\frac {1}{tt'}}-{\frac {a}{t'}}-{\frac {b}{t}}-c=0$

donne

${\frac {1}{{\frac {1}{t'}}-b}}={\frac {{\frac {1}{t}}-a}{c+ab}},$

partant

${\frac {u}{t^{x}t^{'x'}}}=u\left\{{\begin{aligned}\mathrm {V} &\left({\frac {1}{t'}}-b\right)^{x'}+\mathrm {V} {(1)}\left({\frac {1}{t'}}-b\right)^{x'-1}+\ldots +\mathrm {V} ^{(x')}\\&+{\frac {\mathrm {V} ^{(x'+1)}}{c+ab}}\left({\frac {1}{t}}-a\right)+{\frac {\mathrm {V} ^{(x'+2)}}{(c+ab)^{2}}}\left({\frac {1}{t}}-a\right)^{2}+\ldots \\&+{\frac {\mathrm {V} ^{(x'+x)}}{(c+ab)^{x}}}\left({\frac {1}{t}}-a\right)^{x}\end{aligned}}\right\}.$

Pour repasser maintenant des fonctions génératrices aux coefficients, nous observerons : 1^o que le coefficient de $t^{0}t'^{0}$ dans ${\frac {u}{t^{x}t^{'x'}}}$ est $y_{x,x'}\,:$ 2^o que