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avant d’amener soit boules noires, soit boules rouges, soit, etc. Solution du problème par la méthode des combinaisons. Identité de ce problème avec celui qui consiste à déterminer les sorts d’un nombres de joueurs dont les adresses respectives sont connues lorsqu’il manque, pour gagner la partie, coups au premier, au second, au troisième, etc.
No 7
Solution générale du problème précédent par l’analyse des fonctions génératrices. Dans le cas de deux joueurs et dont les adresses respectives sont égales, le problème est celui que Pascal proposa à Fermat et que ces deux grands géomètres résolurent. Il revient à imaginer une urne qui renferme deux boules, l’une blanche et l’autre noire, portant chacune le no 1, la boule blanche étant pour le joueur la boule noire pour le joueur On tire de l’urne une boule que l’on y remet ensuite pour procéder à un nouveau tirage, et l’on continue ainsi jusqu’à ce que la somme des numéros sortis, favorables à l’un des joueurs, atteigne un nombre donné. Après un certain nombre de tirages, il manque encore au joueur le nombre et au joueur le nombre Les deux joueurs conviennent alors de se retirer du jeu en partageant l’enjeu qu’ils ont mis en commençant : il s’agit de connaître comment doit se faire ce partage. Ce qui revient aux joueurs doit être évidemment proportionnel à leurs probabilités respectives de gagner la partie. Généralisation et solution du problème : 1o en supposant dans l’urne une boule blanche favorable à et portant le no 1 et deux boules noires favorables à et portant l’une, le no 1, et l’autre, le no 2 ; chaque boule diminuant de son numéro le nombre des points qui manquent au joueur auquel elle est favorable ; 2o en supposant dans l’urne deux boules blanches portant les nos 1 et 2 et deux boules noires portant les mêmes numéros. No 8
Concevant dans une urne boules marquées du no 1, boules marquées du no 2, et ainsi de suite jusqu’au no ces boules étant bien mêlées dans l’urne et tirées toutes successivement, on demande la probabilité qu’il sortira au moins boules au rang indiqué par leur numéro. Solution générale du problème et de celui dans lequel, ayant urnes renfermant chacune le nombre de boules, toutes de couleurs différentes et que l’on tire toutes successivement de chaque urne en complétant le tirage d’une urne avant de passer à une autre urne, on demande la probabilité qu’une ou plusieurs boules de la même couleur sortiront au même rang dans les tirages complets des urnes. No 9
Deux joueurs ef dont les adresses respectives sont et et dont le premier a le nombre de jetons et le second le nombre jouent à cette condition que celui qui perd donne un jeton à son adversaire et que la partie ne finisse que lorsque l’un des joueurs aura perdu tous ses jetons ; on demande la probabilité que l’un des joueurs gagnera la partie avant ou au ième coup. Fonction génératrice de cette probabilité, d’où l’on tire l’expression générale de la probabilité. Expression de la probabilité que la partie finira avant ou au ième coup. Ce qu’elle devient lorsqu’on suppose infini. Valeur très approchée de la même expression, lorsque l’on suppose de plus et égaux et lorsque est un nombre considérable. Si il y a du désavantage à parier un contre un que gagnera la partie dans coups ; mais il y a de l’avantage à parier qu’il la gagnera dans coups. No 10
Un nombre de joueurs jouent ensemble aux conditions suivantes : deux d’entre eux jouent d’abord, et celui qui perd se retire après avoir mis un franc au jeu, pour n’y rentrer qu’après que tous les autres joueurs ont joué ; ce qui a lieu généralement pour tous les joueurs qui perdent et qui par là deviennent les derniers. Celui
