on aura
![{\displaystyle {\frac {(2+t)tt'}{4}}\left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {1}{4}}t'(1+t')+{\frac {1}{4^{2}}}t'^{2}(1+t')^{2}+{\frac {1}{4^{3}}}t'^{3}(1+t')^{3}+\ldots \\&+{\frac {t(1+t)}{4}}\left[1+{\frac {2}{4}}t'(1+t')+{\frac {3}{4^{2}}}t'^{2}(1+t')^{2}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {4}{4^{3}}}t'^{3}(1+t')^{3}+\ldots \right]\\&+{\frac {t^{2}(1+t)^{2}}{4^{2}}}\left[1+{\frac {3}{4}}t'(1+t')+{\frac {3.4}{1.2.4^{2}}}t'^{2}(1+t')^{2}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {3.4.5}{1.2.3.4^{3}}}t'^{3}(1+t')^{3}+\ldots \right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4e8d6b2777c6872a718030fc0660e1849e9576)
Si l’on rejette de cette série toutes les puissances de 
autres que 
et toutes les puissances de 
supérieures à 
et si dans ce qui reste on fait 
on aura l’expression de 
lorsque 
est égal ou plus grand que l’unité ; lorsque est nul, on a 
Il est facile de traduire ce procédé en formule, comme on l’a fait pour le cas précédent.
Nommons 
la probabilité du joueur 
; la fonction génératrice de sera ce que devient la fonction génératrice de lorsqu’on y change en 
et réciproquement, ce qui donne, pour cette fonction,
En ajoutant les deux fonctions génératrices, leur somme se réduit à
dans laquelle le coefficient de 
est l’unité ; ainsi l’on a
ce qui est visible d’ailleurs, puisque la partie doit être nécessairement gagnée par l’un des joueurs.
9. Concevons dans une urne 
boules marquées du no 1, boules marquées du no 2, boules marquées du no 3, et ainsi de suite jusqu’au no 
Ces boules étant bien mêlées dans l’urne, on les tire toutes suc-
