qui constitue le Calcul exponentiel, l’une des branches les plus fécondes de l’Analyse moderne. Leibnitz a indiqué le premier, dans les Actes de Leipzig pour 1682, les transcendantes à exposants variables, et par là il a complété le système des éléments dont une fonction finie peut être composée ; car toute fonction finie explicite se réduit, en dernière analyse, à des grandeurs simples, ajoutées ou soustraites les unes des autres, multipliées ou divisées entre elles, élevées à des puissances constantes ou variables. Les racines des équations formées de ces éléments en sont des fonctions implicites. C’est ainsi que, étant le nombre dont le \logarithme hyperbolique est l’unité, le \logarithme de est la racine de l’équation transcendante On peut considérer encore les quantités \logarithmiques comme des fonctions exponentielles dont les exposants sont infiniment petits. Ainsi est égal à Toutes les modifications de grandeur que l’on peut concevoir aux exposants se trouvent donc représentées par les quantités exponentielles, algébriques et \logarithmiques. Ces quantités et leurs fonctions embrassent, par conséquent, toutes les fonctions finies explicites, et les racines des équations formées de fonctions semblables embrassent toutes les fonctions finies implicites.
Ces quantités sont essentiellement distinctes : l’exponentielle par exemple, ne peut jamais être identique avec une fonction algébrique de Car toute fonction algébrique est réductible dans une série descendante de la forme or il est facile de démontrer que, étant supposé plus grand que l’unité et étant infini, est infiniment plus grand que quelque grands que l’on suppose et Pareillement, il est aisé de voir que, dans le cas de infini, est infiniment plus grand que Les fonctions exponentielles, algébriques et \logarithmiques d’une variable indéterminée ne peuvent donc pas rentrer les unes dans les autres ; les quantités algébriques tiennent le milieu entre les exponentielles et les \logarithmiques, les exposants, lorsque la variable est infinie, pouvant être considérés comme infinis dans les exponentielles, finis dans les quan-
