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probabilité d’amener $x$ boules blanches, $x'$ boules noires et $x''$ boules rouges sera

${\frac {1.2.3\ldots (x+x'+x'')}{1.2.3\ldots x.1.2.3\ldots x'1.2.3\ldots x''}}\left({\frac {p}{p+q+r}}\right)^{x}\left({\frac {q}{p+q+r}}\right)^{x'}\left({\frac {r}{p+q+r}}\right)^{x''},$

où l’on doit observer que ${\frac {p}{p+q+r}},\ {\frac {q}{p+q+r}},\ {\frac {r}{p+q+r}}$ sont les probabilités respectives de tirer de chaque urne une boule blanche, une boule noire et une boule rouge.

On voit généralement que, si les urnes renferment chacune le même nombre de couleurs, $p$ étant le nombre des boules de la première couleur, $q$ celui des boules de la seconde couleur, $r,s,\ldots$ ceux des boules de la troisième, de la quatrième, … $x+x'+x''+x'''+\ldots$ étant le nombre des urnes, la probabilité d’amener $x$ boules de la première couleur, $x'$ boules de la seconde, $x''$ boules de la troisième, $x'''$ boules de la quatrième, sera

${\frac {1.2.3\ldots (x+x'+x''+x'''+\ldots )}{1.2.3\ldots x.1.2.3\ldots x'1.2.3\ldots x''1.2.3\ldots x'''\ldots }}\left({\frac {p}{p+q+r+s+\ldots }}\right)^{x}$

$\times \left({\frac {q}{p+q+r+s+\ldots }}\right)^{x'}\left({\frac {r}{p+q+r+s+\ldots }}\right)^{x''}\left({\frac {s}{p+q+r+s+\ldots }}\right)^{x'''}\ldots .$

7. Déterminons maintenant la probabilité de tirer des urnes précédentes $x$ boules blanches, avant d’amener soit $x'$ boules noires, soit $x''$ boules rouges, …. Il est clair que, $n$ exprimant le nombre des couleurs, cela doit arriver au plus tard après $x+x'+x''+\ldots -n+1$ tirages ; car, lorsque le nombre des boules blanches extraites est égal ou moindre que $x$, celui des boules noires extraites moindre que $x',$ celui des boules rouges extraites moindre que $x'',\ldots$, le nombre total des boules extraites, et par conséquent le nombre des tirages, est égal ou moindre que $x+x'+x''+\ldots -n+1\,;$ on peut donc ne considérer ici que $x+x'+x''+\ldots -n+1$ urnes.

Pour avoir le nombre des cas dans lesquels on peut amener $x$ boules blanches au $(x+i)$^ième tirage, il faut déterminer tous les cas dans lesquels $x-1$ boules blanches seront sorties au tirage $x+i-1$. Ce