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En appliquant ces résultats aux équations (E), on aura la valeur de $\mathrm {P}$ relative à l’élément $z.$

On trouve, pour trois éléments,

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&p^{(2)}q^{(2)}r^{(2)}-p^{(2)}{\overline {qr}}^{2}-q^{(2)}{\overline {pr}}^{2}-r^{(2)}{\overline {pq}}^{2}+2{\overline {pq}}\,{\overline {pr}}\,{\overline {qr}},\\\mathrm {B} =&q^{(2)}r^{(2)}-{\overline {qr}}^{2}.\end{aligned}}$

Ces résultats appliqués aux équations (D) donneront la valeur de $\mathrm {P}$ relative à l’élément $z.$

En continuant ainsi, on aura, quel que soit le nombre des éléments, le poids relatif au premier élément $z.$ En changeant dans son expression $p$ en $q$ et $q$ en $p,$ on aura le poids relatif au deuxième élément $z'.$ En changeant, dans l’expression du poids du premier élément, $p$ en $r$ et $r$ en $p,$ on aura le poids relatif au troisième élément $z''$ et ainsi de suite. Mais, lorsque le nombre des éléments surpasse trois, il est beaucoup plus simple de faire usage de la méthode du numéro précédent.

Nous observerons ici que l’erreur moyenne à craindre sur chaque élément étant, par les n^os 20 et 21 du Livre II, plus petite dans le système de facteurs qui constitue la méthode la plus avantageuse que dans tout autre système, la valeur de $\mathrm {P}$ y est la plus grande possible. Ainsi, pour une même erreur d’un élément dans cette méthode, la probabilité est plus petite que dans toute autre méthode, ce qui assure sa supériorité.

4. Toute mon analyse repose sur l’hypothèse que la facilité des erreurs est la même pour les erreurs positives et pour les erreurs négatives ; ce qui rend nulle l’intégrale du produit de l’erreur par sa probabilité et par sa différentielle, l’intégrale étant prise dans toute l’étendue des limites des erreurs, et l’origine des erreurs étant au milieu de l’intervalle qui sépare ces limites. Mais, si la loi de facilité est différente pour les erreurs positives et pour les erreurs négatives,