Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/693

carrés de toutes les erreurs possibles des observations, multipliées par leurs probabilités respectives, et qui exprime ainsi la vraie moyenne de ces carrés, est très probablement égal à la somme des carrés des restes des équations de condition, lorsqu’on y a substitué les éléments déterminés par la méthode la plus avantageuse. L’importance de cette méthode dans la philosophie naturelle exige que l’incertitude qu’elle peut laisser soit dissipée, et la seule qui reste encore est relative à l’égalité dont je viens de parler. Je vais d’abord éclaircir ce point délicat de la théorie des probabilités et faire voir que l’égalité précédente peut être employée sans erreur sensible.

La somme des carrés des erreurs des observations, dont le nombre est $s,$ étant supposée égale à ${\frac {2k''}{k}}a^{2}s+a^{2}r{\sqrt {s}},$ la probabilité que la valeur de $r$ est comprise dans des limites données est, par le n^o 19 cité,

${\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int {\text{ϐ}}'drc^{-{\frac {{\text{ϐ}}'^{2}r^{2}}{4}}},$

l’intégrale étant prise dans ces limites. Représentons l’équation générale de condition des éléments $z,z',\ldots$ par celle-ci

$\varepsilon ^{(i)}=p^{(i)}z+q^{(i)}z'+\ldots -\alpha ^{(i)},$

$\varepsilon ^{(i)}$ étant l’erreur de l’observation. Les éléments $z,z',\ldots$ étant déterminés par la méthode la plus avantageuse, désignons par $u,u',\ldots$ leurs erreurs ; nous aurons, en nommant $\varepsilon '^{(i)}$ le reste de la fonction

$p^{(i)}z+q^{(i)}z'+\ldots -\alpha ^{(i)}$

lorsqu’on y a substitué pour $z,z',\ldots$ leurs valeurs ainsi déterminées,

$\varepsilon ^{(i)}=\varepsilon '^{(i)}+p^{(i)}u+q^{(i)}u'+\ldots ,$

ce qui donne

$\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)2}=\mathrm {S} \varepsilon '^{(i)2}+2\mathrm {S} \varepsilon '^{(i)}\left(p^{(i)}u+q^{(i)}u'+\ldots \right)+\mathrm {S} \left(p^{(i)}u+q^{(i)}u'+\ldots \right)^{2},$

le signe intégral $\mathrm {S}$ s’étendant à toutes les valeurs de $i,$ depuis $i=0$ jusqu’à $i=s-1.$ Mais, par les conditions de la méthode la plus avan-