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une personne dont l’âge est d’un nombre entier $\mathrm {A}$ d’années. Pour cela, on ajoutera tous les nombres de la Table qui suivent celui qui correspond à l’âge $\mathrm {A} \,;$ on divisera la somme par ce dernier nombre, et l’on ajoutera ${\frac {1}{2}}$ au quotient. En effet, si l’on désigne par $(1),(2),(3),\ldots$ les nombres de la Table, correspondants à l’année $\mathrm {A}$ et aux années suivantes, le nombre des individus qui meurent dans la première année, à partir de l’année $\mathrm {A} ,$ sera $(1)-(2)\,;$ mais, dans ce court intervalle, la mortalité peut être supposée constante ; ${\frac {1}{2}}\left[(1)-(2)\right]$ est donc la somme des durées de leur vie, à partir de l’âge $\mathrm {A} .$ Pareillement ${\frac {3}{2}}\left[(2)-(3)\right],\ {\frac {5}{2}}\left[(3)-(4)\right],\ldots$ sont les sommes des durées de la vie, à partir du même âge, de ceux qui meurent dans les deuxième, troisième, etc., années comptées depuis l’année $\mathrm {A} .$ La réunion de toutes ces sommes est ${\frac {(1)}{2}}+(2)+(3)+(4)+\ldots \,;$ et, en la divisant par $(1),$ on aura la durée moyenne de ce qui reste à vivre à la personne de l’âge $\mathrm {A} .$ On formera ainsi une Table des durées moyennes de ce qui reste à vivre aux différents âges. On pourra même conclure ces durées les unes des autres, en observant que, si $\mathrm {F}$ désigne cette durée pour l’âge $\mathrm {A} ,$ et $\mathrm {F} '$ la durée correspondante à l’âge $\mathrm {A} +1,$ on a

$\mathrm {F} ={\frac {(2)}{(1)}}\left(\mathrm {F} '+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}.$

36. Déterminons maintenant la durée moyenne de la vie qui aurait lieu, si l’une des causes de mortalité venait à s’éteindre. Soit $\mathrm {U}$ le nombre des enfants qui, sur le nombre $n$ de naissances, vivraient encore à l’âge $x$ dans cette hypothèse, $u$ étant celui des enfants vivants à cet âge sur le même nombre de naissances, dans le cas où cette cause de mortalité subsiste. Nommons $z\Delta x$ la probabilité qu’un individu de l’âge $x$ périra de cette maladie dans l’intervalle de temps très court $\Delta x\,;\ uz\Delta x$ sera, à très peu près, par le n^o 25, le nombre des individus $u$ qui périront de cette maladie dans l’intervalle de temps $\Delta x,$ si ce nombre est considérable. Pareillement, si l’on désigne par $\varphi \Delta x$ la probabilité qu’un individu de l’âge $x$ périra par les autres causes de mortalité dans l’intervalle $\Delta x,\ u\varphi \Delta x$ sera le nombre des individus qui périront