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De l’interpolation des suites à deux variables et de l’intégration des équations linéaires aux différences partielles   

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Formule générale de l’interpolation des suites dont la dernière raison des termes est celle d’une série dont le terme général est donné par une équation linéaire aux différences partielles, à coefficients constants. N^o 13  

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La formule s’arrête lorsque la raison des termes est celle d’une série semblable, et alors elle donne l’intégrale des équations linéaires aux différences finies partielles, dont les coefficients sont constants. Cette intégrale suppose que l’on connaît ou que l’on peut déduire des conditions du problème $n$ valeurs arbitraires de $y_{x,x'},$ en donnant, par exemple, à $x$ les $n$ valeurs $0,1,2,\ldots ,n-1,\ x'$ étant d’ailleurs quelconque. Expression très simple de $y_{x,x'},$ lorsque ces fonctions arbitraires en $x'$ sont données par des équations linéaires aux différences, à coefficients constants. N^o 14   

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Expression générale de $y_{x,x'}$ sous la forme d’intégrale définie ; remarque importante sur le nombre des fonctions arbitraires que renferme l’intégrale des équations à différences partielles. N^o 15   

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Examen de quelques cas qui échappent à la formule générale d’intégration donnée dans ce qui précède ; dans ce cas, les caractéristiques des différences finies que renferment les intégrales ont pour exposants les indices variables des équations aux différences partielles. N^o 16  

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Intégration de l’équation

$0=\Delta ^{n}y_{x,x'}+{\frac {a}{\alpha }}\Delta ^{n-1}{'}\Delta y_{x,x'}+{\frac {b}{\alpha ^{2}}}\Delta ^{n-2}{'}\Delta ^{2}y_{x,x'}+\ldots ,$

$\Delta$ se rapportant à la variabilité de $x$ dont l’unité est la différence, et $'\Delta$ se rapportant à la variabilité de $x'$ dont $\alpha$ est la différence. On en déduit l’intégrale de l’équation aux différences partielles infiniment petites et finies, que l’on obtient en changeant, dans la précédente, $\alpha$ en $dx',$ et la caractéristique $'\Delta$ en $d.$ N^o 17  

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Théorèmes sur le développement en séries des fonctions de plusieurs variables   

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Ces théorèmes sont analogues à ceux qui ont été donnés précédemment sur les fonctions à une seule variable, et l’on y retrouve l’analogie observée entre les puissances positives et les différences, et entre les puissances négatives et les intégrales. N^o 18   

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Considérations sur les passages du fini à l’infiniment petit   

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La considération de ces passages est très propre à éclaircir les points les plus délicats du Calcul infinitésimal. Elle montre avec évidence que les quantités négligées dans ce Calcul n’ôtent rien à sa rigueur. En l’appliquant au problème des cordes vibrantes, elle prouve la possibilité d’introduire des fonctions arbitraires discontinues dans les intégrales des équations aux différences partielles finies et infiniment petites, et elle donne les conditions de cette discontinuité. N^o 19  

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Considérations générales sur les jonctions génératrices   

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Trouver la fonction génératrice d’une quantité donnée par une équation linéaire aux différences finies, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles et entières de l’indice. N^o 20  

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