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LIVRE PREMIER.
Théorèmes sur le développement en séries des fonctions de plusieurs variables.
18. Si l’on applique aux fonctions de plusieurs variables la méthode du no 11, on aura sur le développement de ces fonctions en séries des théorèmes ana\logues à ceux du no 10. Considérons la fonction génératrice 
et donnons-lui cette forme
![{\displaystyle u\left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)\left(1+{\frac {1}{t'}}-1\right)\left(1+{\frac {1}{t''}}-1\right)\ldots -1\right]^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907ec9fbb37df9e2929a936b1cd189332fb6c303)
étant supposé une fonction de 
dans le développement de laquelle 
est le coefficient de 
Ce coefficient dans le développement de 
sera 
étant supposés varier de l’unité dans 
Ce même coefficient, dans le développement de la fonction génératrice
sera
les caractéristiques 
se rapportant respectivement aux variables 
on aura donc, en repassant des fonctions génératrices à leurs coefficients,
![{\displaystyle =\left[\left(1+'\Delta y_{x,x',x'',\ldots }\right)\left(1+''\Delta y_{x,x',x'',\ldots }\right)\left(1+'''\Delta y_{x,x',x'',\ldots }\right)\ldots -1\right]^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9baf895484889aa79447eba35b85b7a2fe06c8df)
pourvu que, dans le développement du second membre de cette équation, on applique aux caractéristiques 
les exposants des puissances de 
En changeant 
dans 
la même équation subsiste encore, pourvu que l’on change, comme dans les nos 10 et 11, les caractéristiques 
lorsqu’elles ont un exposant négatif, en intégrales finies
